Kynea数

Kynea数とは、

4^{n}+2^{n+1}-1

または

(2^{n}+1)^{2}-2

で表される自然数である。

上の数式の通り、4の n 乗と n+1 番目のメルセンヌ数の和である。Kynea数はCletus Emmanuelによって研究され、Cletus Emmanuelの娘の名にちなんでKynea数と名付けられた^[1]。Kynea数は小さい順に

7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, ... (A093069)

と続く。

性質

n番目のKynea数を二進記数法で表すと、1の後にn - 1 個の 0 が並び、n + 1 個の 1 が並ぶ。そのため、

4^{n}+\sum _{i=0}^{n}2^{i}

とも表現できる。例えば23は二進記数法で10111であり、79は1001111となる。 n番目のKynea数とn番目のキャロル数は、2ⁿ⁺¹ の符号が異なるだけであるため、その差は 2ⁿ⁺² である。

Kynea素数

7から3つおきに、Kynea数は7の倍数になる。そのため、3x + 1 番目（0<x）のKynea数は素数にはなりえない。Kynea素数は、小さい順に 7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, …(A091514)と並ぶ。

2018年2月 (2018-02)現在^[update], 既知の最大のKynea素数はn = 661478番目のKynea数であり、398250桁の数である^[2]^[3]。この素数はMark Rodenkirchが2016の6月にCKSieveプログラムとPrimeFormGWを用いて発見したものであり、50番目のKynea素数である。

ポータル数学

一般化

b進Kynea数を、 (bⁿ + 1)² − 2 （n ≥ 1）と定義できる。b進Kynea数はbが奇数の場合には偶数であるため、bが偶数のときにのみKynea素数を持つ。

{(2b)ⁿ + 1}² − 2 が素数となるb進Kynea数の、最小の項は

1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, ...番目に現れる

b	(bⁿ+1)² − 2 が素数となるn (n が30000までは網羅)	OEIS
2	1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, ...	A091513
4	1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, ...
6	1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, ...	A100902
8	1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, ...
10	22, 351, 1061, ...	A100904
12	1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, ...
14	1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, ...	A100906
16	2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, ...
18	1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, ...
20	1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, ...
22	3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, ...	A100908
24	24, 321, 971, 984, ...
26	1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, ...
28	1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, ...
30	2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, ...
32	1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, ...
34	1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, ...
36	1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, ...
38	6, 279, 3490, ...
40	2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, ...
42	1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, ...
44	3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, ...
46	1, 54, 2040, 3063, ...
48	1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, ...
50	4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, ...

2018年2月 (2018-02)現在^[update], b進Kynea数で知られている最大の素数は (30¹⁵⁷⁹⁵⁰ + 1)² − 2 である。

参考文献

^ Cletus Emmanuel's statement on Yahoo group PrimeNumbers
^ Entry for 661478th Kynea number at Prime Pages
^ Carol and Kynea Prime Search by Mark Rodenkirch

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Near-Square Prime". mathworld.wolfram.com (英語).
Prime Database entry for Kynea(661478)
Carol and Kynea Primes
Carol and Kynea Prime Search

[1] Cletus Emmanuel's statement on Yahoo group PrimeNumbers

[2] Entry for 661478th Kynea number at Prime Pages

[3] Carol and Kynea Prime Search by Mark Rodenkirch

[1]

[2]

[3]

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面体回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧

Kynea 数
n	10進	2進
1	7	111
2	23	10111
3	79	1001111
4	287	100011111
5	1087	10000111111
6	4223	1000001111111
7	16639	100000011111111
8	66047	10000000111111111
9	263167	1000000001111111111

性質

Kynea素数

一般化

関連項目

参考文献

外部リンク