循環素数

循環素数とは10進数における各桁を循環するように並べ替えた数がすべて素数となるようなものである^[1]^[2]。具体的には、 1193は循環素数で、並び替えた1931, 9311,3119のすべてが素数になる^[3]。

2桁以上の循環素数は、1,3,7,9で構成される。なぜなら、0,2,4,6,8を含む数であればどこかの並びで2で割り切ることができ、0,5を含む数であれば5で割り切ることができるからだ。^[4]

以下は既知の循環素数である。(ただし、1桁の素数またはレピュニット数は並び替えはできないがここに含まれる。)

2, 3, 5, 7, R₂, 13, 17, 37, 79, 113, 197, 199, 337, 1193, 3779, 11939, 19937, 193939, 199933, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁, R₄₉₀₈₁, R₈₆₄₅₃, R₁₀₉₂₉₇, R₂₇₀₃₄₃, R_5794777, R_8177207

ここで、R_nはn桁のレピュニット素数である^[3]。なお、10²³まで循環素数は上記以外に存在しない。

また、似たようなものとして置換可能素数があるが、これは循環素数の部分集合である(すべての置換可能素数は循環素数だが、逆は必ずしも成り立たない)^[3]。

N進法

十二進法

十二進法における循環素数は以下のとおり(Ɛ:10,ᘔ:11とする)。

2, 3, 5, 7, Ɛ, R₂, 15, 57, 5Ɛ, R₃, 117, 11Ɛ, 175, 1Ɛ7, 157Ɛ, 555Ɛ, R₅, 115Ɛ77, R₁₇, R₈₁, R₉₁, R₂₂₅, R₂₅₅, R_4ᘔ5, R₅₇₇₇, R_879Ɛ, R_198Ɛ1, R₂₃₁₇₅ と R₃₁₁₄₀₇.

ここで、R_nとは十二進法におけるレピュニット素数。十二進法では、12¹²の範囲で上記以外の循環素数は存在しない。

二進法

二進法では、メルセンヌ素数が循環素数になる。これは、0を含むと偶数になってしまうからだ。

参考文献

外部リンク

Circular prime at The Prime Glossary
Circular prime at World of Numbers
OEIS sequence A068652 a related sequence (the circular primes are a subsequence of this one)
Circular, Permutable, Truncatable and Deletable Primes
Absolute Primes (including circular primes), Numberphile video

[The_Universal_Book_of_Mathematics-1] The Universal Book of Mathematics, Darling, David J., (2004-08-11), p. 70, ISBN 9780471270478 2010年7月25日閲覧。

[Prime_Numbers_-_The_Most_Mysterious_Figures_in_Math-2] Prime Numbers—The Most Mysterious Figures in Math, Wells, D., p. 47 (page 28 of the book) 2010年7月27日閲覧。

[Circular_primes-3] Circular Primes, Patrick De Geest 2010年7月25日閲覧。

[The_mathematics_of_Oz:_mental_gymnastics_from_beyond_the_edge-4] The mathematics of Oz: mental gymnastics from beyond the edge, Pickover, Clifford A., (2002-09-02), p. 330, ISBN 9780521016780 2011年3月9日閲覧。

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表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) 四次 ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面体回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能循環切り捨て可能ストロボグラマティック素数 Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧