五十四角形

五十四角形（ごじゅうよんかくけい、ごじゅうよんかっけい、pentacontatetragon）は、多角形の一つで、54本の辺と54個の頂点を持つ図形である。内角の和は9360°、対角線の本数は1377本である。

正五十四角形

正五十四角形においては、中心角と外角は6.666666…°で、内角は173.333333…°となる。一辺の長さが a の正五十四角形の面積 S は

S={\frac {27}{2}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{54}}a^{2}

以下のようにα、β、γを定義すると

{\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}\\&\beta =2\cos {\frac {10\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {26\pi }{54}}\\&\gamma =2\cos {\frac {50\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{54}}\\\end{aligned}}

三次方程式の係数を求めると

{\begin{aligned}&\alpha +\beta +\gamma =0\\&\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-3\\&\alpha \beta \gamma =1\\\end{aligned}}

三次方程式は

x^{3}-3x-1=0

三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると

\alpha =2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {1}{2}}\right)={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}}={\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}+{\sqrt[{3}]{-\omega }}

三次方程式の係数を求めると

{\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{54}}+2\cos {\frac {34\pi }{54}}+2\cos {\frac {38\pi }{54}}=0\\&2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}+2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}+2\cos {\frac {38\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{54}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}=\alpha \\\end{aligned}}

三次方程式は

u^{3}-3u-\alpha =0

三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると

u_{1}=2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega }}}

よって

\cos {\frac {2\pi }{54}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega }}}}{2}}

正五十四角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正五十四角形は折紙により作図可能である。

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