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正五十四角形
五十四角形(ごじゅうよんかくけい、ごじゅうよんかっけい、pentacontatetragon)は、多角形の一つで、54本の辺と54個の頂点を持つ図形である。内角の和は9360°、対角線の本数は1377本である。
正五十四角形[編集]
正五十四角形においては、中心角と外角は6.666666…°で、内角は173.333333…°となる。一辺の長さが a の正五十四角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {27}{2}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{54}}a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f4a68c0645077ce019419b5eb3b1e04d187921)
- 関係式
以下のようにα、β、γを定義すると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}\\&\beta =2\cos {\frac {10\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {26\pi }{54}}\\&\gamma =2\cos {\frac {50\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{54}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1d30f29a057856716e18e1ab345c0a25988a4b)
三次方程式の係数を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta +\gamma =0\\&\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-3\\&\alpha \beta \gamma =1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa839b780d06834540186040ed023b23c1568d9)
三次方程式は
![{\displaystyle x^{3}-3x-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a293c67e7a1f4f94e169f7e83733fe37a71e29)
三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると
![{\displaystyle \alpha =2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {1}{2}}\right)={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}}={\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}+{\sqrt[{3}]{-\omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adcdbedc4fbffbba7241346e24ad91c823627362)
三次方程式の係数を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{54}}+2\cos {\frac {34\pi }{54}}+2\cos {\frac {38\pi }{54}}=0\\&2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}+2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}+2\cos {\frac {38\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{54}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}=\alpha \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/033b6799e3fb599a5685cb718e74e9babc556edd)
三次方程式は
![{\displaystyle u^{3}-3u-\alpha =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e49e67f78d89c8b5fe3661d399e0eb318fee21d)
三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると
![{\displaystyle u_{1}=2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969f0031873f1712c8da12f2c9f56347a21ed393)
よって
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{54}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega }}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb86bf0b9f112c08bb7ec617eed58a88239dede)
正五十四角形の作図[編集]
正五十四角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正五十四角形は折紙により作図可能である。
関連項目[編集]
外部リンク[編集]
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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