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ミンコフスキー・シュタイナーの公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
n=2における公式の図解

ミンコフスキー・シュタイナーの公式(シュタイナー・ミンコフスキーのこうしき、: Minkowski–Steiner formula)は、数学におけるユークリッド空間コンパクト部分集合表面積体積に関連する公式。適切な意味で表面積を体積の"導関数"として定義する。ヘルマン・ミンコフスキーヤコブ・シュタイナーの名を冠する。

ミンコフスキー・シュタイナーの公式は、ブルン・ミンコフスキーの定理英語版とともに等周不等式を証明するために使用される。

主張

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において、コンパクト集合ルベーグ測度(体積)とする。ミンコフスキー・シュタイナーの公式によって数量を次のように定義する。

ここで

半径球体で、

ミンコフスキー和英語版

とする。

備考

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表面測度

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"十分素性の良い"集合について、数量は確かに境界次元の測度に対応する。フェデラー (1969)はこの問題を完全に解決している。

凸集合

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凸集合であるとき、上記の上極限は真に極限となる。これは

を示すことができる。ここでのある連続写像Quermassintegralsを見よ)で、単位球の測度(体積)である。

単位球面の体積はガンマ関数を用いて上の式で表される。

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とすると、次の半径球面の表面積と体積に関する有名公式を得られる。 について、

出典

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  • Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2 
  • Federer, Herbert (1969). Geometric Measure Theory. New-York: Springer-Verlag