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混合体積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

凸幾何学英語版における混合体積(こんごうたいせき[1][2][3]、mixed volume)とは、上のいくつかの凸体英語版の組と非負数を特徴づける手法である。凸体の形状と大きさ、相対的な方向に依存する。

定義

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上の凸体とする。次の関数を考える。

ここで次元体積内の加法拡大縮小されたに関するミンコフスキー和英語版である。斉次多項式であることが分かり、次のように書ける。

ただし、対称関数である。インデックス について、係数の混合体積という。

性質

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  • 混合体積は次の3つの性質で特徴づけられる。
  1. は対称関数。
  2. 多重線型形。つまり、について、
ブルン=ミンコフスキーの不等式英語版凸体におけるミンコフスキーの第一不等式英語版のような多くの不等式は、このアレクサンドロフ=フェンシェル不等式の系である。

Quermassintegrals

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を凸体、単位球とする。

j-th quermassintegral と呼ばれる[4]

混合体積の定義よりシュタイナーの公式(Steiner formula)と呼ばれる次の式が成立する。ヤコブ・シュタイナーの名を冠する。

Intrinsic volumes

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j-th intrinsic volume はquermassintegralの異なる正規化物である。次の式で定義される。

つまり、

ここでは、次元単位球の体積。

ハドヴィガーの定理

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ハドヴィガーの定理は、内の凸体上の剛体運動の下で不変で連続な任意の付値はquermassintegral(またはintrinsic volume)の線型結合で表すことができることを主張する[5]

脚注

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  1. ^ 新訂版 数学用語 英和辞典: 和英索引付き』近代科学社、2020年12月2日、228頁。ISBN 978-4-7649-0624-2https://www.google.co.jp/books/edition/%E6%96%B0%E8%A8%82%E7%89%88_%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E_%E8%8B%B1%E5%92%8C%E8%BE%9E%E5%85%B8/SHMNEAAAQBAJ?hl=ja&gbpv=1&dq=%E6%B7%B7%E5%90%88%E4%BD%93%E7%A9%8D+mixed+volume&pg=PA228&printsec=frontcover 
  2. ^ 窪田忠彦『高等数学叢書 第7』岩波書店、1940年、445頁。NDLJP:1172588 
  3. ^ 数学』Mathematical Society of Japan、1981年https://www.google.co.jp/books/edition/%E6%95%B0%E5%AD%A6/eKjxAAAAMAAJ?hl=ja&gbpv=1&bsq=%22%E6%B7%B7%E5%90%88%E4%BD%93%E7%A9%8D%22&dq=%22%E6%B7%B7%E5%90%88%E4%BD%93%E7%A9%8D%22&printsec=frontcover 
  4. ^ McMullen, Peter (1991). “Inequalities between intrinsic volumes”. Monatshefte für Mathematik 111 (1): 47–53. doi:10.1007/bf01299276. MR1089383. 
  5. ^ Klain, Daniel A. (1995). “A short proof of Hadwiger's characterization theorem”. Mathematika 42 (2): 329–339. doi:10.1112/s0025579300014625. MR1376731. 

外部リンク

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