マッケイ三次曲線

ユークリッド幾何学において、マッケイ三次曲線（まっけいさんじきょくせん、英:McCay cubic, M'Cay cubic^[1] ,Griffiths cubic^[2]）とは、三角形に関する三次曲線の一つである^[3]。グリフィス三次曲線とも呼ばれる。 Bernard Gibertの「Catalogue of Triangle Cubics」ではK003として登録されている^[2]。

定義

基準三角形 $△ ABC$

   $△ ABC$ の九点円

   $P$ の垂足三角形

   $P$ の垂足円（垂足三角形の外接円）

  **マッケイ三次曲線**:垂足円と九点円が接するときの $P$ の軌跡

マッケイ三次曲線はいくつかの軌跡として定義される^[2]。

垂足円と九点円が接するような点 $P$ の軌跡^[4]
点 $P$ と $P$ の等角共役点と外心が共線である点の軌跡
擬調和三角形 $DEF$ と元の三角形 $ABC$ について $AB ⊥ FP, BC ⊥ DP, CA ⊥ EP$ となるような（対垂であるような）点 $P$ の軌跡
外心を通る直線と、その直線上の点の等角共役点の軌跡が成す外接円錐双曲線の交点（フォントネー点,Fontene points）の軌跡^[5]

などがある。

方程式

マッケイ三次曲線は重心座標 $x:y:z$ を用いて下の式で表される。

\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2}))=0.

三線座標 $\alpha :\beta :\gamma$ では以下のように表される。

\alpha (\beta ^{2}-\gamma ^{2})\cos A+\beta (\gamma ^{2}-\alpha ^{2})\cos B+\gamma (\alpha ^{2}-\beta ^{2})\cos C=0

三次曲線上の点

マッケイ三次曲線は以下の点を通る^[2]^[6]。

内心と傍心
外心
垂心
垂心の外心チェバ共役点X₁₀₇₅
X₁₀₇₅の等角共役点X₃₃₆₂
ジェルゴンヌ三角形の垂心X₆₅の、垂心チェバ共役点X₂₂₅のミモザ変換（Mimoza transform,内心の、点Xと垂心の三線座標の積で表される点でのチェバ共役点）X₁₇₄₅
X₁₇₄₅の等角共役点X₁₃₈₅₅

漸近線

Stelloid（不正規双曲線^[7]）とは3つの漸近線の成す角が60°である三次曲線を指す。マッケイ三次曲線はStelloidで、漸近線の交点は重心である^[2]。マッケイ三次曲線の漸近線と漸近線が平行でまた、有限個の点で交わり、circum-stelloid（3つの頂点を通るStelloid）である三次曲線は、McCay stelloidと呼ばれる。漸近線の交点はStelloidのradial centerと呼ばれる^[8]。有限個のradial centerが与えられたとき、McCay Stelloidはただ一つに決まる。

出典

^ Weisstein, Eric W. “M'Cay Cubic”. MathWorld-A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.. 5 December 2021閲覧。
^ ^a ^b ^c ^d ^e Bernard Gibert. “K003 McCay Cubic = Griffiths Cubic”. Cubics in the Triangle Plane. Bernard Gilbert. 5 December 2021閲覧。
^ Gallatly, William (1910). The modern geometry of the triangle. Cornell University Library. London, F. Hodgson
^ John Griffiths. Mathematical Questions and Solutions from the Educational Times 2 (1902) 109, and 3 (1903) 29
^ Roger C. Alperin. “Pedals of the Poncelet Pencil and Fontene Points”. Forum Geometricorum. 2024年2月21日閲覧。
^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2”. faculty.evansville.edu. 2024年3月28日閲覧。
^ 『国際十進分類法』全日本科学技術団体聯合会、1948年、513.618.5頁。doi:10.11501/1122661。
^ Bernard Gibert. “McCay Stelloids”. Catalogue of Triangle Cubics. Bernard Gilbert. 25 December 2021閲覧。

[1] Weisstein, Eric W. “M'Cay Cubic”. MathWorld-A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.. 5 December 2021閲覧。

[K003-2] Bernard Gibert. “K003 McCay Cubic = Griffiths Cubic”. Cubics in the Triangle Plane. Bernard Gilbert. 5 December 2021閲覧。

[3] Gallatly, William (1910). The modern geometry of the triangle. Cornell University Library. London, F. Hodgson

[4] John Griffiths. Mathematical Questions and Solutions from the Educational Times 2 (1902) 109, and 3 (1903) 29

[5] Roger C. Alperin. “Pedals of the Poncelet Pencil and Fontene Points”. Forum Geometricorum. 2024年2月21日閲覧。

[6] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2”. faculty.evansville.edu. 2024年3月28日閲覧。

[7] 『国際十進分類法』全日本科学技術団体聯合会、1948年、513.618.5頁。doi:10.11501/1122661。

[8] Bernard Gibert. “McCay Stelloids”. Catalogue of Triangle Cubics. Bernard Gilbert. 25 December 2021閲覧。

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

定義

方程式

三次曲線上の点

漸近線

関連

出典