ゼータ函数

数学では、ゼータ函数 (英: zeta function) とは、通常はリーマンゼータ函数とそれに類似した函数のことを言う。リーマンゼータ函数は、

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

で定義される（この表示式自体はオイラーのゼータ函数であり，変数ｓを複素平面上全域で有理形に解析接続して得られるものがリーマンのゼータ函数である）。ゼータ函数と呼ばれる函数には、たとえば下記のものなどがある。

• リーマンゼータ函数
• デデキントゼータ函数
• 数論的ゼータ函数
• ゼータ函数 (作用素)
• ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数
• 合同ゼータ函数（局所ゼータ函数とも言う）
• セルバーグゼータ函数
• フルヴィッツのゼータ函数
• エプシュタインのゼータ函数
• ハッセ・ヴェイユのゼータ函数
• 伊原のゼータ函数
• 新谷のゼータ函数
• HardyのZ-函数
• ガロア表現のゼータ函数
• 保形形式のゼータ函数
• p-進ゼータ函数

これらとは別に、数学の記号として同じギリシャ文字ゼータで表されるゼータ函数として

• ワイエルシュトラスのゼータ関数
• 隣接代数のゼータ関数
• ヤコビのゼータ関数
• レルヒゼータ函数

などがある。

参考となる文献

文献リストは今後に追加予定。

洋書

• Akeksandar Ivić：The Theory of Hardy's Z-function, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-1-107-02883-8 (2013).

和書

• 末綱恕一：「解析的整數論」、岩波書店、(1950年2月10日)。
• 鹿野健：「リーマン予想」、日本評論社、ISBN 4-535-78181-8 (1991年9月30日).
• 本橋洋一：「リーマンゼータ函数と保型波動」、共立出版（共立講座21世紀の数学21）、ISBN 4-320-01573-8 (1999年1月25日)。
• リーマン(著)、足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介(編)：「リーマン論文集」、朝倉書店、ISBN 4-254-11460-5 (2004年2月20日)。
• 松本耕二：「リーマンのゼータ関数」、朝倉書店、ISBN 4-254-11731-0 (2005年11月15日).
• 黒川信也：「リーマン予想の150年」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006792-8 (2009年11月5日).
• 本橋洋一：「解析的整数論 I：素数分布論」、朝倉書店（朝倉数学大系1）、ISBN 978-4-254-11821-6 (2009年11月15日).
• 黒川信重（編著）：「リーマン予想がわかる」、日本評論社（数学セミナー増刊）(2009年11月25日）.
• 黒川信重、小山信也：「リーマン予想のこれまでとこれから」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78550-2 (2009年12月10日).
• 黒川信重、小山信也：「絶対数学」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78552-6 (2010年9月15日).
• 小山信也：「素数からゼータへ，そしてカオスへ」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78553-3 (2010年12月12日).
• 本橋洋一：「解析的整数論 II：ゼータ解析」、朝倉書店（朝倉数学大系2）、ISBN 978-4-254-11822-3 (2011年7月10日).
• ハロルド・M・エドワーズ：「明解 ゼータ関数とリーマン予想」、講談社、ISBN 978-4-06-155799-4（2012年6月25日). ※ 原タイトル：Riemann's Zeta Function.
• 黒川信重：「リーマン予想の先へ：深リーマン予想ーDRH」、東京図書、ISBN 978-4-489-02151-0 (2013年4月25日).
• 黒川信重：「ゼータの冒険と進化」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-1020-3 (2014年10月20日).
• 黒川信重：「ラマヌジャン：ζの衝撃」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-0447-9 (2015年8月8日).
• 中村亨：「リーマン予想とはなにか」、講談社（ブルーバックスB-1828)、ISBN 978-4-06-257828-8 (2015年8月20日).
• 小山信也：「素数とゼータ関数」、共立出版（数学の輝き6）、ISBN 978-4-320-11200-1 (2015年10月25日).
• 黒川信重：「リーマンと数論」、共立出版、ISBN 978-4-320-11234-6 (2016年12月15日).
• 黒川信重、小山信也：「ゼータへの招待」、日本評論社、ISBN 978-4-535-60351-6 (2018年2月25日).