セルバーグゼータ函数

セルバーグゼータ函数(Selberg zeta-function)は、アトル・セルバーグAtle Selberg (1956) により導入された。有名なリーマンゼータ函数

\zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}

の類似で、ここに $\mathbb {P}$ は素数の集合を表す。セルバーグゼータ函数は、素数の代わりに単純な閉測地線の長さを使う。 $\Gamma$ を SL(2,R) の部分群とすると、セルバーグゼータ函数は次のように定義される。

\zeta _{\Gamma }(s)=\prod _{p}(1-N(p)^{-s})^{-1},

あるいは、

Z_{\Gamma }(s)=\prod _{p}\prod _{n=0}^{\infty }(1-N(p)^{-s-n}),

ここに p は素な合同類全体を渡り、 N(p) は合同類 p のノルムで、p のより大きい固有値の二乗である。

有限領域を持つ双曲曲面に対して、セルバーグゼータ函数が付帯している。この函数は複素平面上の有理型函数である。このゼータ函数は、曲面上の閉じた測地線の言葉で定義される。

セルバーグゼータ函数 Z(s) のゼロ点と極は、曲面のスペクトルのデータの言葉で記述することができる。

ゼロ点は次のような点である。

固有値 $s_{0}(1-s_{0})$ を持つ全てのカスプ形式に対し、点 $s_{0}$ にゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、対応する固有空間の次元に等しい。（カスプ形式とは、定数項がゼロのフーリエ展開を持つラプラス・ベルトラミ作用素の固有函数である。）
ゼータ函数は散乱行列 $\phi (s)$ の行列式の全ての極でゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、散乱行列の対応する極のオーダーに等しい。

ゼータ函数は、 $1/2-\mathbb {N}$ で極をもち、点 $-\mathbb {N}$ で、極、もしくはゼロ点を持つ。

伊原のゼータ函数は、セルバーグゼータ函数の p-進類似（グラフ理論的な類似）と考えられている。

モジュラ群のセルバーグゼータ函数

$\Gamma$ をモジュラ群として、曲面が $\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ である場合には、セルバーグゼータ函数は、特に興味が持たれる。この特別な場合は、セルバーグゼータ函数が密接にリーマンゼータ函数と結びついているからである。

この場合は、散乱行列の行列式が次で与えられる。

\varphi (s)=\pi ^{1/2}{\frac {\Gamma (s-1/2)\zeta (2s-1)}{\Gamma (s)\zeta (2s)}}.

特に、リーマンゼータ函数が $s_{0}$ でゼロ点を持つと、散乱行列の行列式は $s_{0}/2$ で極をもつので、セルバーグゼータ函数は $s_{0}/2$ でゼロ点を持つ。

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