q-類似

q-類似（きゅーるいじ、英: q-analog, q-analogue）とは、理論に q → 1 の極限で、元の理論に一致するように径数 q を導入するような拡張のことをいう。q-拡張（英: q-extension）などとも呼ばれる。

そのような拡張は何通りも考えうるが、q-数や、q-微分やq-積分を用いるq-解析学の定義に基づいた拡張が一般的に用いられ、解析学や組合せ論、特殊関数、量子群などの分野に応用されている。

概要

q-数

最も基本的な q-数 [n]_q （q-整数やq-ブラケット（英: q-bracket）とも呼ばれる）とは、自然数 n の q-類似であって、q → 1 の極限で [n]_q → n となるように

$[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}$

と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、$q\mapsto q^{-1}$ で不変な

$[n]_{q}:={\frac {q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}}}$

あるいは

$[n]_{q}:={\frac {q^{n/2}-q^{-n/2}}{q^{1/2}-q^{-1/2}}}$

と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の q-階乗やq-二項係数は q-数を用いて同様に定義される。

q-階乗

またq-階乗 [n]_q! （英: q-factorial）は、q-数によって

$[n]_{q}!:=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}$

と定義される。ただし (q; q)_n はq-ポッホハマー記号を表す。

このとき S_n を n 次の対称群、inv(σ) を置換 σ の転倒数として、

$[n]_{q}!=\sum _{\sigma \in S_{n}}q^{\operatorname {inv} (\sigma )}$

が成り立つ。これは $q\to 1$ の極限で、通常の階乗 $n!$ が $n$ 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。 また有限体 F_q 上の一般線型群 GL(n, q) の位数は

$\vert \operatorname {GL} (n,q)\vert =[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{\binom {n}{2}}$

と表せる。

q-二項係数

q-二項係数（英: q-binomial coefficient）は、二項係数の q-類似で、

${\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}$

によって定義される。q が素数のべきのとき、q-二項係数は有限体 F_q 上の n 次元線型空間内における k 次元部分空間の数に等しい。

より一般に q-多項係数は n = k₁ + … + k_m のとき

${\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[k_{1}]_{q}!\dotsm [k_{m}]_{q}!}}$

によって定義される。 このとき

${\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\binom {n}{k_{1}}}_{q}{\binom {n-k_{1}}{k_{2}}}_{q}\dotsm {\binom {n-k_{1}-\dotsb -k_{m-1}}{k_{m}}}_{q}$

${\binom {n}{k}}_{q}={\binom {n-1}{k}}_{q}+q^{n-k}{\binom {n-1}{k-1}}_{q}$

のようなよく知られた等式の類似が成り立つ。

q-二項定理

→「q二項定理」も参照

q-二項定理は、二項定理のq-類似であり、

$\prod _{k=0}^{n-1}(1-q^{k-1}x)$

について、$a=q^{-n}$とするとき、

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}={\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}$

によって定義される。

これは、後述のq-超幾何級数を用いて、

$_{1}\phi _{0}\left[{\begin{matrix}a\\-\end{matrix}};q,x\right]$

と表すことができる。　

また、q-二項係数を用いて、

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}_{q}q^{\frac {k(k-1)}{2}}(-x)^{k}$

と表すこともできる。

q-ポッホハマー記号

→「qポッホハマー記号」も参照

q-ポッホハマー記号（英: q-Pochhammer symbol，q-シフト因子，q-シフト階乗とも呼ばれる）は、ポッホハマー記号（昇冪）のq-類似であり、q-類似の計算において頻繁に現れ、有限積あるいは無限積を簡略化して表記するために用いられる。

$(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})$

によって定義され、有限積については、

$(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}$

と定義される。とくにn > 0のときは、

$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})$

が成り立つ。

第二引数（基底と呼ばれる）がqのときは、$(a;q)_{n}=(a)_{n}$と略記され、複数の引数を持つq-ポッホハマー記号は、$(a,b,c;q)_{n}=(a;q)_{n}(b;q)_{n}(c;q)_{n}$と分解される。

以下のようにq → 1 の極限を求めれば、ポッホハマー記号に一致する。

$\lim _{q\to 1}{\frac {(q^{a};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=\lim _{q\to 1}{\frac {1-q^{a}}{1-q}}{\frac {1-q^{a+1}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{a+n-1}}{1-q}}$

$=\lim _{q\to 1}[a]_{q}[a+1]_{q}\cdots [a+n-1]_{q}=a(a+1)\cdots (a+n-1)=(a)_{n}$

q-解析学

→「量子解析学」も参照

q-微分

q-微分（q-差分とも呼ばれる）は微分の q-類似で、任意の関数 ƒ(x) について q-微分を

$d_{q}(f(x)):=f(qx)-f(x)$

によって定義する。さらに導関数の q-類似である q-導関数は

$D_{q}(f(x)):={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}$

によって定義される。

q-導関数を求める演算は線形性を持つが、ライプニッツ則はq → 1 の極限のみで成り立つ。

$D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}(f(x))+D_{q}(g(x))$

$D_{q}(f(x)g(x))=f(x)D_{q}(g(x))+D_{q}(f(x))g(qx)$

その他にも、以下のような性質が知られている。

$D_{q}x^{n}=[n]_{q}x^{n-1}$

$D_{q}^{m}x^{n}={\frac {[n]_{q}!}{[n-m]_{q}!}}x^{n-m}$

q-積分

q-積分（ジャクソン積分）は、積分のq-類似であり、不定積分は、

$\int f(x)d_{q}x:=(1-q)\sum _{n=0}^{\infty }f(xq^{n})xq^{n}$

によって定義され、定積分は、

$\int _{0}^{a}f(x)d_{q}x:=(1-q)a\sum _{n=0}^{\infty }f(aq^{n})q^{n}$

$\int _{b}^{a}f(x)d_{q}x:=\int _{0}^{a}f(x)d_{q}x-\int _{0}^{b}f(x)d_{q}x$

$\int _{0}^{\infty }f(x)d_{q}x:=(1-q)\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(q^{n})q^{n}$

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)d_{q}x:=(1-q)\sum _{n=-\infty }^{\infty }(f(q^{n})+f(q^{-n}))q^{n}$

によって定義される。

q-積分はq-微分の逆演算であり、

$D_{q}\int _{0}^{a}f(x)d_{q}x$

$={\frac {1}{(1-q)a}}\left((1-q)a\sum _{n=0}^{\infty }f(aq^{n})q^{n}-(1-q)aq\sum _{n=0}^{\infty }f(aq^{n+1})q^{n}\right)$

$=\sum _{n=0}^{\infty }f(aq^{n})q^{n}-\sum _{n=0}^{\infty }f(aq^{n+1})q^{n+1}$

$=f(a)$

となることからも確かめられる。

初等関数のq-類似

q-指数関数

q-指数関数は、指数関数のq-類似であり、

$e_{q}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}$

によって定義され、次のような同値の定義が用いられることもある。

$e_{q}(x):={\frac {1}{((1-q)x;q)_{\infty }}}$

指数関数の導関数が指数関数であるのと同様に、

$D_{q}e_{q}(x)=e_{q}(x)$

が成り立つ。

とくに、可換性を持たず、$qab=ba$を満たすような量子平面上の変数x, yについて、次のような指数法則が成り立つことが知られている。

$e_{q}(x+y)=e_{q}(x)q_{q}(y)$

q-対数関数

q-対数関数は、対数関数のq-類似であり、

$\log _{q}(x):=(1-q)(x-1)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+(x-1)q^{n}}}$

によって定義されるが、これはq-指数関数の逆関数ではなく、これとは異なる定義も複数存在する。

また、ツァリス統計で用いられるq-指数関数およびq-対数関数は、q-類似とは全く異なる点に注意が必要である。

q-三角関数

q-三角関数は、三角関数のq-類似であり、q-指数関数を用いて、

$\sin _{q}(x):={\frac {e_{q}(xi)-e_{q}(-xi)}{2i}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{[2n+1]_{q}!}}$

$\cos _{q}(x):={\frac {e_{q}(xi)+e_{q}(-xi)}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{[2n]_{q}!}}$

によって定義され、通常の三角関数と同様に正接、余接、正割、余割関数のq-類似も定義される。

また、テータ関数を用いた次の定義も存在する。

$\sin _{q}(x):={\frac {\vartheta _{1}(x,e^{\frac {\pi ^{2}}{\log {q}}})}{\vartheta _{2}({\frac {\pi }{2}},e^{\frac {\pi ^{2}}{\log {q}}})}}$

$\cos _{q}(x):={\frac {\vartheta _{1}(x,e^{\frac {\pi ^{2}}{\log {q}}})}{\vartheta _{2}(0,e^{\frac {\pi ^{2}}{\log {q}}})}}$

特殊関数のq-類似

q-ガンマ関数

q-ガンマ関数は、ガンマ関数のq-類似であり、

$\Gamma _{q}(x)={\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}(1-q)^{1-x}$

によって定義される。

通常のガンマ関数のように、

$\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)$

が成り立ち、またxが自然数のとき、

$\Gamma _{q}(x)=[x-1]_{q}!$

が成り立つ。

その他にも、以下のような性質が知られている。

$\Gamma _{q}\left(x+{\frac {2\pi i}{\log {q}}}\right)=(1-q)^{-{\frac {2\pi i}{\log {q}}}}\Gamma _{q}(x)$

$\Gamma _{q}\left(x+{\frac {\pi i}{\log {q}}}\right)=2{\frac {(1-q)^{-x}}{(1+q)^{1-x}}}\Gamma _{q}\left({\frac {\pi i}{\log {q}}}\right){\frac {\Gamma _{q^{2}}(x)}{\Gamma _{q}(x)}}$

また、q-ベータ関数は、ベータ関数のq-類似であり、q-ガンマ関数を用いて、

$\mathrm {B} _{q}(x,y):={\frac {\Gamma _{q}(x)\Gamma _{q}(y)}{\Gamma _{q}(x+y)}}$

と定義される。

さらに、q-円周率は、円周率のq-類似であり、

$\pi (q):={\sqrt[{4}]{q}}\Gamma _{q^{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$

によって定義される。

q-ポリガンマ関数

q-ポリガンマ関数は、ポリガンマ関数のq-類似であり、q-ガンマ関数を用いて、

$\psi _{q}^{(m)}(x)={\frac {d^{m+1}}{dx^{m+1}}}\ln {\Gamma _{q}(x)}$

によって定義され、以下のような性質が成り立つことが知られている。

$\psi _{q}^{(0)}(x+1)=\psi _{q}(x)-{\frac {q^{x}}{1-q^{x}}}\ln {q}$

$\psi _{q}^{(m)}\left(x+{\frac {2\pi i}{\log {q}}}\right)=\psi _{q}^{(m)}(x)$

$\psi _{q}\left(x\pm {\frac {\pi i}{\log {q}}}\right)=\psi _{q^{2}}(x)-\psi _{q}(x)+\log {\frac {1+q}{1-q}}$

$\psi _{q}^{(m)}\left(x\pm {\frac {\pi i}{\log {q}}}\right)=\psi _{q^{2}}^{(m)}(x)-\psi _{q}^{(m)}(x)$

また、q-オイラー定数は、オイラー定数のq-類似であり、q-ポリガンマ関数を用いて、

$\gamma ^{(m)}(q):={\frac {(-1)^{m+1}}{m!}}\psi _{q}^{(m)}(1)$

と定義される。

q-超幾何級数

→「q超幾何級数」も参照

q-超幾何級数は、超幾何級数のq-類似であり、

${}_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},\cdots ,a_{r}\\b_{1},\cdots ,b_{s}\end{matrix}};q;z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},\cdots ,a_{r};q)_{n}}{(a_{1},\cdots ,a_{r},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{\left({\frac {n}{2}}\right)}\right)^{1+s-r}x^{n}$

によって定義される。

とくに、ガウスの超幾何関数のq-類似は、

${}_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q;z\right]={}_{2}\varphi _{1}(a,b;c;z|q):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{a};q)_{n}(q^{b};q)_{n}}{(q^{c};q)_{n}(q;q)_{n}}}x^{n}$

によって定義される。

参考文献

• Ira M. Gessel (1982). A q-analog of the exponential formula. 40. 69-80. doi:10.1016/0012-365X. https://pdf.sciencedirectassets.com/271536/1-s2.0-S0012365X00X03184/1-s2.0-0012365X82901893/main.pdf?X-Amz-Security-Token=IQoJb3JpZ2luX2VjEDgaCXVzLWVhc3QtMSJIMEYCIQDwIHQK5b7v6VFMkNp8bQ2Gy0vtgnqhJlTZ3SsNDsP5xgIhAKldpglcA%2FiNcNmpv%2BiPTE0WTUvYkIBEkwIpoKK5ezDcKrMFCFEQBRoMMDU5MDAzNTQ2ODY1Igw1MgF0mhO1jUzr4jQqkAWxX3DE6qLz4KT7ZG0pYVNwMviptbkk8q2w2u9%2BT79LfmiL%2Fps1NAcBZusbPLaFHEi%2B3vE9cQKqPNMzZi6ucEvx4OFsR7Ipaak8xTC0iB5kPWh3fpReADDigPRdiALofghjMvDrc3fM37a2digtQDbAZn%2FbfhFeZOZbY8WUehwQEOPx2X8jLIId39w%2B4qQkCAdbzjrIDj5ShmPnsaEHQFM6R8xouOJJt4RLDxj%2Bov%2FHBytc1wBUyfKQN5fTpaKzSmuDpgOgM1U%2FkYo8r6lKUPr5TSXOjmTBToyA81lpalDrHn62iqms57QBeMaY7Q9zMZtq0hpfoWzGGSeNcslw8MCJdqeUqC42wed6RXYtR2QCWIj29opCkYW7zIEHlTltdk7aBjj%2Fy5qDeaHSEMJXjJeRDdMXo1j8Py39K85DNrkPBJqKTdmBV7YYoI0S9Ci2isaLGjPjT%2BahpBmhaLW4%2FC%2FusO%2BGbhcN%2F%2BJkm9ryWHRFM9QzeSVSJ8mj0Wpuekrjt9Jh2tRVeLGctkW51JzSENa9xCz4%2BifpaOe90owjCcLgdlxh5uwGssgmQgOVOTyP37edhovt6cgZSR0WlUpIOwW2OkIKstnHn8mGWydQecM1HvPdQokzVY1xMT3tNXrgyLykn1cT%2FknbatNeQuVv4DYM2KjJbTlLQTWyaMALR59cElJgId7eYcEGFVi24C3K97h6tnjgsjBPrM%2BZMkE0Cib0wC4MxLnsHQSUn7q4ZGKyDUjIEhRsxP5MdOwn4BVUUWx19bs9wAnN8WfjES2imLnvbRYcbpdORpbxTn69hddnBtPcM4wsiie3IRXE%2BX0ujIreDufE%2FVTi%2B4B7AerVTdvI%2BX2djmLEFGyjw4ktXQhgNjCR5Y%2B9BjqwAf5UDucYf3Z%2F6ofeBfpE5X4QHWSaARzQ3L%2BmI8tjZvuyK3gUG0Zw8ebVNGeHqbswBnYARGdsk%2FnKQJCNnY59yGp4FjUNAP5mUWnib%2BBnWreoYOWPxC5851YF2pwZ6WQ0fI%2BvpLUGyEZAuqJ8NoXAWiAtZkIlZYtYU58hn69tnMLOFYVK5iS9z%2BFF3MgwARqi1ZGi6GTwIYwKuGxyRzU2WzR6%2FKreYQo3Kw7FY8YbJmGp&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Date=20250206T002839Z&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Expires=300&X-Amz-Credential=ASIAQ3PHCVTY53HCK2J3%2F20250206%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Signature=c9f79e3315aa2a3092921829722395e9089f05525c49277a9fef11148fd5ddc5&hash=c5a4c9ea1d7a02307ff37d297dbfaad5da0a41c535ecc7adb7533caf3887c012&host=68042c943591013ac2b2430a89b270f6af2c76d8dfd086a07176afe7c76c2c61&pii=0012365X82901893&tid=spdf-87ebc0c8-5828-4248-9360-405fc45729f2&sid=607679d21696244dc19850c-77e4fa0cf0dcgxrqa&type=client&tsoh=d3d3LnNjaWVuY2VkaXJlY3QuY29t&ua=0c1e5c5306505e535554&rr=90d705743b2ed759&cc=jp 
• Stanley, R. P. (2012). Enumerative Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. I (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01542-5. https://books.google.co.jp/books?id=-A3sbo0ZUKcC&lpg=PP1&hl=ja&pg=PA54#v=onepage&q&f=false 

関連項目

• 一元体
• q-類似体の一覧
• qポッホハマー記号
• q二項定理
• q超幾何級数
• q-二項係数
• q-微分
• q-指数関数
• q-ガンマ関数
• q-テータ関数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "q-Analog". mathworld.wolfram.com (英語).
• 『q-二項係数とq-二項定理～東大数学2020年と合わせて』 - 高校数学の美しい物語