開平法

開平法（かいへいほう、英: extraction of square root）とは、正の数の平方根の小数表示を求めていくアルゴリズムである。開平や開平算、開平計算とも。平方根を求めることを開平するという。開法の一種。

開平法の原理

与えられた正の数の正の平方根の小数表示を求めるために、ここではまず漸化式を立てて、一般的な求値法を求める。そして、求値の明確化のために、開平法と呼ばれる筆算の原理を導出する。以下は十進法表示の場合だが、他の位取り記数法でも同様な計算で求められる。ここで述べるのと基本的には同じ方法で、立方根を求める開立法や、もっと一般に $n$ 乗根を求めることも可能である。

手続きを簡略化した筆算による方法については「#筆算による求値」を参照

問題の定式化

与えられた $\sqrt x (x > 0)$ に対し、 $10 k$ の位 $a k (k \leq n)$ を求める：

{\begin{aligned}{\sqrt {x}}&=\textstyle \sum \limits _{k\leq n}10^{k}a_{k}\\&=10^{n}a_{n}+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots +10^{2}a_{2}+10a_{1}+a_{0}+10^{-1}a_{-1}+10^{-2}a_{-2}+\cdots \end{aligned}}

$x$ の首位を $a n$ とする。つまり、 $n$ は $\sqrt x < 10 k +1$ を満たす最小の $k$ とする。また便宜上 $a k = 0$ $(k > n)$ とする。

$\sqrt x$ の $10 m$ の位より上（かみ）の位 $p m$ は分かっているとし、 $10 m$ の位 $a m$ を求めるとする。すなわち

p_{m}=\textstyle \sum \limits _{k=m+1}^{n}10^{k-m-1}a_{k}=10^{n-m-1}a_{n}+10^{n-m-2}a_{n-1}+\cdots +10a_{m+2}+a_{m+1}

とおく。

$a m$ は $10 m +1 p m + 10 m a m \leq \sqrt x$ を満たす最大の $a m$ 、すなわち

(20 p m + a m) a m \leq 10 -2 m x - 100 p m 2

… (1)

を満たす最大の $a m$ である。これを見つける。

a m

の値は

0

から

9

までの 10 通りなので、順に試していけば

a m

は求まる。

m = n

のとき、

p n = 0

より

a n 2 \leq 10 -2 n x

m < n

のとき、

20 p m a m \leq (20 p m + a m) a m \leq 10 -2 m x - 100 p m 2

$p m \neq 0$ より

a_{m}\leq {\frac {10^{-2m}x-100{p_{m}}^{2}}{20p_{m}}}

右辺の計算値により、

a m

の値の見当を付けることができる。

これにより $a m$ が求まれば、

p m -1 = 10 p m + a m

の値が分かるから、

(20 p m-1 + a m -1) a m -1 \leq 10 -2(m -1) x - 100 p m -1 2

を満たす最大の $a m -1$ を見つければよい。

このようにして、帰納的に $a k$ $(k \leq n)$ の値が求まる。

漸化式の簡略化

不等式(1) を簡略化する。「 $20$ 」を基数 $10$ と合わせるため $10 \times 2$ とする。そのため

q m = 2 p m

y m = 10 -2 m x - 100 p m 2

とおくと、不等式(1) は

(10 q m + a m) a m \leq y m

… (1')

である。

q m = 2 p m

= 2(10 p m +1 + a m +1)

= 10 q m +1 + 2 a m +1

… (2)

(1') を満たす最大の $a m$ を求めるために、 $y m$ の整数部分 $z m$ を、 $z m +1$ から求める。

$r m = (10 q m + a m) a m$ とおくと、

y m = 10 -2 m x - 100 p m 2

= 100{10 -2(m +1) x - (10 p m +1 + a m +1) 2}

= 100{10 -2(m +1) x - 100 p m +1 2} - 100(20 p m +1 + a m +1) a m +1

= 100 y m +1 - 100 r m +1

$100 y m +1 = 10 -2 m x - 10000 p m +1 2$ の整数部分は、 $x$ の $10 i$ の位を $x i$ とすると、 $100 z m +1 + 10 x 2 m +1 + x 2 m$ に等しい。したがって、

z m = (100 z m +1 + 10 x 2 m +1 + x 2 m) - 100 r m +1

= 100(z m +1 - r m +1) + 10 x 2 m +1 + x 2 m

… (3)

(2), (3) から、(1') を満たす最大の $a m$ を求めていく。

筆算による効率化

$p m$ から不等式(1') を満たす最大の $a m$ を求めていくには、筆算による帰納的計算が明確である。

	$a m$
	$\sqrt \dots \dots x 2 m +1 x 2 m$
	$z m +1$
	$r m +1$ ↓ ↓
	$q m$ $a m$ $z m +1 - r m +1 x 2 m +1 x 2 m$
	$a m$ $(10 q m + a m) a m$
	$q m -1$ $z m - r m$

$z m = 100(z m +1 - r m +1) + 10 x 2 m +1 + x 2 m$ から $r m = (10 q m + a m) a m$ を引き、負とならない最大の $a m$ を求める。（主算）
次の $a m -1$ を求めるために、 $q m -1 = (10 q m + a m) + a m$ を求めておく。（副算）

具体的な計算方法

例として、ここでは $x = 5630738.132$ の正の平方根 $\sqrt x$ の小数表示を求める。初期値は、

$x 6 = 5$ , $x 5 = 6$ , $x 4 = 3$ , $x 3 = 0$ , $x 2 = 7$ , $x 1 = 3$ , $x 0 = 8$ , $x -1 = 1$ , $x -2 = 3$ , $x -3 = 2$ , $x i = 0$ $(i < -3)$

漸化式による求値

$106 \leq x < 10 8$ より、 $n = 3$

まずは $a 3$ を求める。

$z 4 = 0$
$r 4 = 0$
$p 3 = 0$ より $q 3 = 0$

z 3 = 100(z 4 - r 4) + 10 x 7 + x 6 = 100 \times (0 - 0) + 5 = 5

r 3 = (10 q 3 + a 3) a 3 = a 3 2

a 32 \leq 5

を満たす最大の

a 3

は、

a 3 = 2

である。

次に、 $a 2$ を求める。

$q 2 = (10 q 3 + a 3) + a 3 = 2 + 2 = 4$

z 2 = 100(z 3 - r 3) + 10 x 5 + x 4 = 100 \times (5 - 4) + 63 = 163

r 2 = (10 q 2 + a 2) a 2 = (40 + a 2) a 2

(40 + a 2) a 2 \leq 163

を満たす最大の

a 2

は、

a 2 = 3

である。

$a 1$ を求める。

$q 1 = (10 q 2 + a 2) + a 2 = 43 + 3 = 46$

z 1 = 100(z 2 - r 2) + 10 x 3 + x 2 = 100 \times (163 - 129) + 7 = 3407

r 1 = (10 q 1 + a 1) a 1 = (460 + a 1) a 1

(460 + a 1) a 1 \leq 3407

を満たす最大の

a 1

は、

a 1 = 7

である。

同様の計算を繰り返すと、各項の値は次の表のようになる。

$m$	$10 x 2 m +1 + x 2 m$	$z m$	$q m$	$r m$	$a m$
3	05	5	0	4	2
2	63	163	4	4	3
1	07	3407	46	129	7
0	38	13838	474	3269	2
−1	13	435413	4744	9484	9
−2	20	837220	47458	427041	1
−3	00	36263900	474582	474581	7
−4	00	304311100	4745834	284750076	6
−5	00	1956102400	47458352	1898334096	4
︙	︙	︙	︙	︙	︙

$a m$ の値から

\sqrt 5630738.132 = 2372.91764\dots

である。

筆算による求値

$a m$ の値は、先述の筆算による方法（開平法）によりさらに簡単に計算できる。

本節は、これまでに登場した漸化式の原理により筆算の手順を説明するが、筆算の手順だけを知りたいのであれば、漸化式による説明の箇所を読み飛ばしても差し支えない

$x = 5630738.132$ の正の平方根 $\sqrt x$ の小数表示を求める。

まず、 $x$ の値を、小数点から2桁ずつ「ブロック」に分けて書く。

\sqrt 5 63 07 38. 13 2

各ブロックは、 $z m = 100(z m +1 - r m +1) + 10 x 2 m +1 + x 2 m$ の下線部に該当する。

左側に縦2つ等しい値を書き、積が左端のブロック (5) を超えない最大の値 (2) を見つける。ブロック (5) の上に見つけた値 (2) を書く。左の筆算を立て、下に和の計算結果 (4) を書く。ブロック (5) の下に、左の筆算の、和でなく積の計算結果（この場合は和と同じ $4$ ）を書く。筆算を立て、差の計算結果 (1) をその下に書く。

	$2$
	$2$ $\sqrt 5 63 07 38. 13 2$
	積が $5$ 以下の最大値→ $2$ $4$ ←左の筆算の積
	和→ $4$ $1$ ←差

$z 4 = r 4 = 0$ より $z 3 = 10 x 8 + x 7 = 5$ 。 $q 3 = 0$ より、 $(0 + a 3) a 3 \leq 5$ を満たす最大の $a 3$ は $a 3 = 2$ 。この時 $r 3 = 2 \times 2 = 4$ 。次の計算のために、 $z 3 - r 3 = 5 - 4 = 1$ , $q 2 = 2 + 2 = 4$ を計算しておく。

差の計算結果 (1) の右隣りに、上のブロック (63) を下ろす。左の筆算の末位に縦2つ等しい値を書き、積が下ろしてできた数 (163) を超えない最大の値 (3) を見つける。ブロック (63) の上に見つけた値 (3) を書く。左の筆算を立て、下に和の計算結果 (46) を書く。下ろしてできた数 (163) の下に、左の筆算の積の計算結果 (129) を書く。筆算を立て、差の計算結果 (34) をその下に書く。

	$2$ $3$
	$2$ $\sqrt 5 63 07 38. 13 2$
	$2$ $4$ ↓ ブロックを下ろす
	$43$ $1$ $63$
	積が $163$ 以下の最大値→ $3$ $1$ $29$ ←左の筆算の積
	和→ $46$ $34$ ←差

z 2 = 100(z 3 - r 3) + 10 x 5 + x 4 = 163

。

(40 + a 2) a 2 \leq 163

を満たす最大の

a 2

は

a 2 = 3

。この時

r 2 = 43 \times 3 = 129

。次の計算のために、

z 2 - r 2 = 163 - 129 = 34

,

q 1 = 43 + 3 = 46

を計算しておく。

同様の計算を（ $m = -5$ まで）行うと、次のようになる。

	$2 3 7 2. 9 1 7 6 4$
	$2 \sqrt 5 63 07 38. 13 20 00 00 00$
	$2 4$
	$43 1 63$
	$3 1 29$
	$467 34 07$
	$7 32 69$
	$4742 1 38 38$
	$2 94 84$
	$47449 43 54 13$
	$9 42 70 41$
	$474581 83 72 20$
	$1 47 45 81$
	$4745827 36 26 39 00$
	$7 33 22 07 89$
	$47458346 3 04 31 11 00$
	$6 2 84 75 00 76$
	$474583524 19 56 10 24 00$
	$4 18 98 33 40 96$
	$474583528 57 76 83 04$

これより

\sqrt 5630738.132 = 2372.91764\dots

である。

検算してみると、

2372.91764 2 = 5630738.1262231696

2372.91765 2 = 5630738.1736815225

となり

2372.91764 < \sqrt 5630738.132 < 2372.91765

が確かに成り立つ。

珠算による開平法

珠算による開平法として次の方法がある。

倍根法
半九九法

根の定位

根の定位の仕方は次のようになる。

平方が整数のとき：平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の桁数となる。
平方が帯小数のとき：平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数の桁数となる。
平方が小数のとき：平方の $0$ を2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の $0$ の桁数となる。

倍根法

例： $\sqrt 4225 = 65$

平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、根の桁数が2桁であることを調べる。（根の定位による）

最後の区分された数

42

に含まれている平方根

6

を求めて、初根

6

を置き、初根

6

の

2

乗 (

62 = 36

) を

42

から引く。

初根

6

の

2

倍の

12

を、左に置き、その

12

で残りの平方を割って、次根

5

を初根の隣りに置く。

次根

5

の

2

乗 (

52 = 25

) を引く。

平方根は

65

である。

半九九法

例： $\sqrt 4225 = 65$

平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、根の桁数が2桁であることを調べる。（根の定位による）

最後の区分された数

42

に含まれている平方根

6

を求めて、初根

6

を置き、初根

6

の

2

乗 (

62 = 36

) を

42

から引く。

残りの平方

625

を

2

で割る。（初根の

2

乗を引いたあと、いつも残りの平方を

2

で割る）

2

で割った平方の残りを、初根

6

で割って次根

5

を求める。

次根

5

の半九九

12.5

を引く。

平方根は

65

である。

脚注

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外部リンク

『開平法のやり方と原理』 - 高校数学の美しい物語

開平法の原理

問題の定式化

漸化式の簡略化

筆算による効率化

具体的な計算方法

漸化式による求値

筆算による求値

珠算による開平法

根の定位

倍根法

半九九法

脚注

関連項目

外部リンク