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調和数列(ちょうわすうれつ、harmonic sequence または harmonic progression)とは、各項の逆数を取ると等差数列となる数列である。ピタゴラス音律では、ドの弦の長さを 1 とすると、ソは 2/3、1オクターブ高いドは 1/2 の長さになる。各項の逆数はそれぞれ 1, 3/2, 2 となり、公差が 1/2 の等差数列となる。よって、1, 2/3, 1/2 は調和数列である。
調和数列とは、一般項 hn が a を初項とし定数 d を用いて
![{\displaystyle h_{n}={\frac {1}{a+(n-1)d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609ef1a6d27e2c829634a91320aa3cfbeb715bb1)
と表せる数列 {hn} のことである。ここで −1/d は自然数でないとする。このとき、a は初項である。各項は隣接する2項の調和平均になっている(調和中項)。調和数列の極限は 0 である。例としては、
![{\displaystyle 12,\,6,\,4,\,3,\,{\frac {12}{5}},\,2,\dots ,{\frac {12}{n}},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93690f522bb96721e70ecbd70eb677adcc58b6c7)
![{\displaystyle 10,\,30,\,-30,\,-10,\,-6,\,-{\frac {30}{7}},\dots ,{\frac {30}{5-2n}},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7179200c87ce4f017c7bd0f63f14c4cf8c67e4)
などが挙げられる。
n 番目の項と m 番目の項の関係を表す漸化式は
![{\displaystyle h_{n}={\frac {h_{m}}{1+(n-m)d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f4588528c73f9a8257570258d7926f04b848cb)
である。
この数列の隣接2項間漸化式は
![{\displaystyle {\frac {1}{h_{n+1}}}={\frac {1}{h_{n}}}+{\frac {d}{h_{1}}}\quad (n\geq 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d62b52fcd5745beb6761c9d819aa39ca9c3935)
である。
一般項
, 項数 n の調和数列 {hn} の総乗は
![{\displaystyle h_{1}h_{2}\cdots h_{n}={\frac {\left({\frac {a}{d}}\right)^{n}}{\left({\frac {1}{d}}\right)^{\overline {n}}}}=\left({\frac {a}{d}}\right)^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{d}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{d}}+n\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b65900081360d2eac4e62040228e5173bb20023)
で表される。ここで、
は上昇階乗冪(x から 1 ずつ増やしながら x + n − 1 までの n 個の総乗(階乗の類似物)、Γ は ガンマ関数を表す。
調和数列は各項の逆数を取ると等差数列になることから、等差数列の関係から調和数列の関係を得ることができる。
一般項
, 項数 n の調和数列 {hn} の全ての項の逆数和は、次の式で表される。
![{\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{h_{n}}}={\frac {n}{2}}\left({\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{n}}}\right)={\frac {n\{2+(n-1)d\}}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89330910f3198204003b2a7eddf702830af9fd2d)
調和数列の級数は一般調和級数
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a}{1+(n-1)d}}={\frac {a}{d}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n-1+{\frac {1}{d}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de96482049be637667c2d8cdf0a012811d005a61)
になる。これは発散級数である。