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数学において、体 k 上の準フロベニウスリー代数 (quasi-Frobenius Lie algebra)
![{\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8997357d58354e97fdc54f19ed28ca05198eef8)
とは、リー代数
![{\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007a3516c1d50e9723cc7ebb671c165cc9458ade)
であって、次のような非退化歪対称双線型形式
を持ったものである:
は k に値を持つ
のリー代数 2-コサイクル(英語版)。言い換えると、
for all
in
.
がコバウンダリであれば、つまりある線型形式
が存在して
![{\displaystyle \beta (X,Y)=f(\left[X,Y\right])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d682bca11d848a8b248ad5aa0159fb28c17f56e6)
であれば、
![{\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8997357d58354e97fdc54f19ed28ca05198eef8)
はフロベニウスリー代数 (Frobenius Lie algebra) と呼ばれる。
非退化不変歪対称双線型形式を持った pre-Lie algebra との同値性[編集]
が準フロベニウスリー代数であれば、
上に別の双線型積
を
![{\displaystyle \beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)=\beta \left(Z\triangleleft Y,X\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea73f3789dc954661d81675d8025026d796ae93)
によって定義できる。
すると
が成り立ち、
![{\displaystyle ({\mathfrak {g}},\triangleleft )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b3f56973dac4773ab849c978b9512096a9b996)
は pre-Lie algebra(英語版) である。
関連項目[編集]
参考文献[編集]
- Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
- Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.