準フロベニウスリー代数

数学において、体 k 上の準フロベニウスリー代数 (quasi-Frobenius Lie algebra)

$({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )$

とは、リー代数

$({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,])$

であって、次のような非退化歪対称双線型形式 $\beta \colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to k$ を持ったものである：

$\beta$ は k に値を持つ ${\mathfrak {g}}$ のリー代数 2-コサイクル。言い換えると、

$\beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)+\beta \left(\left[Z,X\right],Y\right)+\beta \left(\left[Y,Z\right],X\right)=0$ for all $X,Y,Z$ in ${\mathfrak {g}}$.

$\beta$ がコバウンダリであれば、つまりある線型形式 $f\colon {\mathfrak {g}}\to k$ が存在して

$\beta (X,Y)=f(\left[X,Y\right])$

であれば、

$({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )$

はフロベニウスリー代数 (Frobenius Lie algebra) と呼ばれる。

非退化不変歪対称双線型形式を持った pre-Lie algebra との同値性

$({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )$ が準フロベニウスリー代数であれば、${\mathfrak {g}}$ 上に別の双線型積 $\triangleleft$ を

$\beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)=\beta \left(Z\triangleleft Y,X\right)$

によって定義できる。

すると$\left[X,Y\right]=X\triangleleft Y-Y\triangleleft X$ が成り立ち、

$({\mathfrak {g}},\triangleleft )$

は pre-Lie algebra である。

関連項目

• リー余代数
• リー双代数
• リー代数のコホモロジー
• フロベニウス代数
• 準フロベニウス環

参考文献

• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
• Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.