極集合

函数解析学と関連する数学の分野において、あるベクトル空間の与えられた部分集合の極集合（きょくしゅうごう、英: polar set）とは、その双対空間の中のある集合のことを言う。

双対組 $(X,Y)$ が与えられたとき、$X$ のある部分集合 $A$ の極集合あるいは極とは、次で定義される $Y$ 内の集合 $A^{\circ }$ のことを言う。

$A^{\circ }:=\{y\in Y:\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}$

$X$ の部分集合 $A$ の双極（bipolar）とは、$A^{\circ }$ の極集合のことを言う。それは $A^{\circ \circ }$ と表記される $X$ 内の集合である。

性質

• $A^{\circ }$ は絶対凸である。
• $A\subseteq B$ ならば $B^{\circ }\subseteq A^{\circ }$ である。
  • したがって $\bigcup _{i\in I}A_{i}^{\circ }\subseteq (\bigcap _{i\in I}A_{i})^{\circ }$ である。ここで集合の等号は必ずしも成立しない。
• すべての $\gamma \neq 0$ に対して、次が成り立つ：$(\gamma A)^{\circ }={\frac {1}{\mid \gamma \mid }}A^{\circ }$
• $(\bigcup _{i\in I}A_{i})^{\circ }=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{\circ }$
• 双対組 $(X,Y)$ に対し、$A^{\circ }$ は $Y$ 上の弱*位相の下で $Y$ において閉である。
• ある集合 $A$ の双極 $A^{\circ \circ }$ は、$A$ の絶対凸包絡集合である。すなわち、$A$ を含む最小の絶対凸集合である。$A$ がすでに絶対凸であるなら、$A^{\circ \circ }=A$ が成り立つ。
• $X$ 内の閉凸錐 $C$ に対し、極錐 は $C$ に対する片側極集合と同値で、次で与えられる。

$C^{\circ }=\{y\in Y:\sup\{\langle x,y\rangle :x\in C\}\leq 1\}$.

幾何学

幾何学において、極集合は点と平面の間の双対性を意味することもある。特に、ある点 $x_{0}$ の極集合は、$\langle x,x_{0}\rangle =0$ を満たす点 $x$ の集合で与えられ、それは極超平面（polar hyperplane）であり、超平面に対する双対関係はその極を与える。

関連項目

• 極錐
• 双極定理

参考文献

ポテンシャル論における極集合に関する文献： Ransford, Thomas: Potential Theory in the Complex Plane, London Mathematical Society Student Texts 28, CUP, 1995, pp. 55-58.