志村対応

数論で、志村対応（英語: Shimura correspondence）とは、ウェイトが半整数 k + 1/2 のモジュラー形式 F とウェイトが偶数 2k のモジュラー形式 f の間の対応関係をいう。この対応関係は、Goro Shimura (1973) により発見された。志村対応は、F 上のヘッケ作用素 T_n² の固有値が、f 上のヘッケ作用素 T_n の固有値に等しいという性質を持つ。

f をウェイト (2k + 1)/2 で指標 χ である正則カスプ形式とする。任意の素数 p に対して、

$\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}=\prod _{p}\left(1-\omega _{p}p^{-s}+(\chi _{p})^{2}p^{2k-1-2s}\right)^{-1}$

とする。ここに ω_p は p により決定されるヘッケ作用素 T(p²) の固有値である。

志村は、L-函数の函数等式を使い、

$F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)q^{n}$

が、ウェイト 2k で指標 χ² をもつ正則モジュラー函数であることを示した。

参考文献

• Bump, D. (2001), “Shimura correspondence”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Shimura_correspondence 
• Shimura, Goro (1973), “On modular forms of half integral weight”, Annals of Mathematics. Second Series 97: 440–481, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970831, MR0332663, https://jstor.org/stable/1970831