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多変数の微分(たへんすうのびぶん)[1][2][3][4]は、多変数関数を、局所的に線形写像(ヤコビ行列)で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。
数ベクトル空間についての補足[編集]
数ベクトル空間[編集]
n 次元実数ベクトル空間
とは、集合としては
(1-2)
である。つまり n 個の実数
を用いて
(1-3)
の形で表せるもの全てを集めてきたものである。
特に、以下で定まる
を、第 i 標準ベクトルという。
(1-8)
である。
標準座標系[編集]
次に
,
の標準座標系を定義する。
に対し、
(1-6)
とし、これを
の第 j 座標関数という。ここで
は内積を表す。つまり、
(1-7)
である。
標準座標系とは、
の組
のことである[4]。当然、
(1-9)
が成立する。
にも、同様に、
や、標準座標系
が定まっている。
さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 (
) の標準座標系を
と表記し、値域側 (
) の標準座標系も
と表記していては紛らわしいので、
の標準座標系を
と書くことにする。つまり、
(1-10)
とする。[注 1]
以降、「
に、標準座標系
が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。
多変数ベクトル値関数[編集]
に標準座標系
が定まっているとし、
に標準座標系
が定まっているとする。
を
の部分集合とし、
(1-1)
を、
上で定義された
に値を取る多変数ベクトル値関数という。
以降
は
の第 i 成分を表す。
は以下の性質を満たす。
(1-11)
![{\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917548d054a37cee18f400b90e4a4ff0752b5adf)
偏微分[編集]
に、標準座標系
が定まっているとし、
に、標準座標系
が定まっているとする。
を、
の開集合とし、
(1-1)
を、
上で定義された
に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
ここで
は
の第 i 成分を表す。
偏微分の定義[編集]
を
内の点とし、
を
のベクトルとする(
は
でなければならないが
は
であってよい)。
,
は固定されているものとする。
このとき、
が
で
について偏微分可能であるとは、以下の極限値
(1-4)
が存在することを意味する。
このとき
の
における、
について偏微分商、
を、以下のように定義する[注 2]。
(1-5)
成分関数の微分可能性[編集]
の第 i 成分
は以下の等式を満たす。
(1-11)
上式において
は内積を意味する。
式 (1-10), (1-11) を用いて、
を((1-5) の定義式通りに)
で
について偏微分することを考える。
が
で
について偏微分可能ならば、
は
で
について偏微分可能で、
(1-12)
が成立する。
逆に、式(1-1)より、
(1-13)
なので、
すべてが
で
について偏微分可能であれば、
も微分可能で、
(1-14)
が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。
一変数関数の微分への帰着[編集]
(1-6) の各成分、つまり
は、それぞれ、(1-15) に示す t についての一変数スカラー値関数
(1-15)
を、t = 0 において(一変数スカラー値意味で)微分したものである。つまり、
(1-16)
である。但し、
は、
(1-17)
で定まる
の直線である。
また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。
記号「∂f/∂xj」について[編集]
の点
における「(
の)
ベクトル
」に対する偏微分商、即ち
を、
と書く。 即ち、
(1-18)
と表記する。
また、
の第 i 成分、つまり
の点
における「(
の)ベクトル
」に対する偏微分商
を、
と表記する。
ここで、
は、それぞれ
標準基底であり、
は、第 j 標準ベクトルを意味する。
ヤコビ行列の導入[編集]
が
において、
全てに対して偏微分可能であるとき、
(1-20)
を
の
におけるヤコビ行列という。
を
の開集合とし、
(2-1)
を、
上で定義された
に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
微分の定義[編集]
を
内の点とする(つまり
)。このとき、
が
で微分可能であるとは、
(2-2)
を充たす
行列
が存在することを意味する。この
を、
の
における微分という。
とおくと、次のようにも表せる。
微分の一意性[編集]
が
で微分可能であるとき、(2-2) を満たす
行列はひとつしか存在しない。つまり、
行列
が、
(2-3)
を満たすとすると、
(2-4)
が成立する。
微分可能性と偏微分可能性[編集]
が
で微分可能であるとき、
は
で任意のベクトル
に対して偏微分可能である。実際、
(2-5)
ここで、
(2-6)
は、(2-2) に
を代入したに過ぎないため(従って (2-2) の特別な場合に過ぎない)、(2-5) の両辺の
極限は 0 となる。従って、
(2-7)
となる。以上より
が
で微分可能であるとき、
は
で
の任意のベクトル
に対して偏微分可能であることが示された。
式 (1-5), (2-6) から、
が
で微分可能ならば
(2-8)
であることが分かる。
ヤコビ行列の導入[編集]
式 (1-2-8) に
を代入すると、
(2-9)
である。従って
の
での微分
の第 j 列は、
(2-10)
第 i , j 成分は
(2-11)
となる。従って、
(2-12)
となる。
誤差項の導入[編集]
「誤差項」の導入を行う。
と
に対し、
の
における誤差項(ランダウの記号)
を
(2-13)
によって定める。
(2-14)
(2-15)
であることが分かる。
(2-14) は、以下の恒等式
(2-16)
の
に
を代入すれば直ちに得られる。
(2-16) の恒等式ことを、本記事では
の点
における一次展開ということにする。
(2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、
が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。
(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は
の一次近似を表していると見ることができる。
つまり、点
の近傍で
は
(2-17)
とみなせることが分かる。
微分に関するいくつかの公式[編集]
偏微分の「方向」に関する公式[編集]
式 (2-8) から、
が
で微分可能であるとき、
は
において
の任意のベクトル
,
と、任意の実数
に対して、
(3-1)
が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、
(3-2)
である。
また、(2-8) から、
が
で微分可能であるとき、
は
で
の任意のベクトル
に対して、
(3-3)
が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。
アフィン写像の微分[編集]
次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて
(3-4)
の形で具体的な数式として書ける、
から
への写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点(
の点)
で微分可能で、任意の点(
の点)
において、
(3-5)
である。逆に、任意の点
において (3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。
合成写像の微分[編集]
次に、合成写像の微分について説明する。
を
の開集合とし、
は、
の値域を含む(つまり、
、特に
とする)とする。多変数ベクトル値関数
(3-6)
は、
で定義され、
に値をとるとする。このとき、
と
との合成写像
は、
で定義され、
に値をとる多変数ベクトル値関数である。
が点
で微分可能で、
が、点
で微分可能であるとき、
も
で微分可能で、
=![{\displaystyle {{\left(J\mathbf {g} \right)}_{[{\textbf {f}}(\mathbf {p} )]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfdad78a48242faa14c3e5fcfd80c61ab78f70a)
(3-7)
ここで“
”とは、行列としての積である。
■証明
を点
で一次展開し、
を点
で(2-16)同様に一次展開すると、
![{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a7fa5ce91d1b349f9da68147dc3db20ad3763a)
(3-8)
![{\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {y} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d552f0f8ea5258cd0cfdf71e95d7409ad0f9d31)
(3-9)
となるので、
![{\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c200c5032ad7241d0641c17c9390ec91dea7b57)
(3-10)
である。従って
(3-11)
を示すを示せば終証である。
以下(3-11)を示す。
(3-12)
より、
![{\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed219ae080d453b5bd04384107e98226004fb682)
(3-13)
一方、
=
(3-14)
は、
(3-15)
の特殊なケースに過ぎないので、
(3-16)
さらに、
(3-17)
は有限の値であることから、
(3-18)
また、
(3-19)
は、
![{\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66687e5bf0514cf65abc4b1ef5be01c40031bd5)
(3-20)
であることと、線形写像の連続性から明らかである。
■
(3-7)を行列として具体的に表記すると
=
(3-21)
となる。これから、
(3-22)
が分かる。
合成写像の偏微分[編集]
次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。
![{\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e330dfd0c719a607a1d28f2f320177b8cc63b9b3)
(3-23)
(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、
(3-24)
以上より、
![{\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e330dfd0c719a607a1d28f2f320177b8cc63b9b3)
(3-25)
逆写像の微分[編集]
次に、(弱いほうの)逆写像定理(逆関数定理)を示す。
を
の開集合とし、
は、
の値域を含む(つまり、
、特に
とする)とする。多変数ベクトル値関数
(3-26)
は、
で定義され、
に値をとるとする。さらに、
が
の逆写像、つまり
![{\displaystyle \mathbf {g} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac01c6abf8f4d3b62fb8a073884827427560a7a)
(3-27)
とする。このとき、
(3-28)
が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。
これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。
導関数の導入[編集]
これまでの議論では、一点
を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数[3]を定義する。
を、
の開集合とし、
(4-1)
を、
上で定義され、
に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
を、
の固定されたベクトルとする。(
でもよい。)このとき、「
が
で、
について偏微分可能である」とは
内の全ての点において、(4-1)の意味で
が
について偏微分可能であることを意味する。このとき「
の
についての偏導関数
」とは、「
の点
と
における偏微分商
を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、
(4-2)
である。特に
![{\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {e} _{j}]}}\mathbf {f} ({\textbf {x}})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/422af6f3ebc8a59e0ad9fe4b31991af191214cf5)
(4-3)
とする。
「
が
で、微分可能である」とは、「
内の全ての点において、(2-2)の意味で
が微分可能」であることを意味する。
このとき「
の
における導関数
」とは、「
の点
と
における微分
を対応させる行列値の関数」である[3]。つまり、
![{\displaystyle {\mathbf {f} }'(\mathbf {x} )=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685bfada6cbe270aedeb34c11f2c2411c056340a)
(4-4)
である[3]。
のことを
や、
と書くこともある。
尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、
は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。
また、(4-5)から、直ちに「
が
で、微分可能」ならば、「
が
で、任意の
について偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「
が
で、任意の
について偏微分可能」であっても、「
が
で、微分可能」とは限らない。
「
が
で、連続微分可能である」とは、「
が
で、
全てについて偏微分可能であり、かつ
についての偏導関数がすべて
で、連続であること」を意味する。
一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「
が
で、連続微分可能」ならば「
が
で、微分可能」であるものの、「
が
で、微分可能」であっても、「
が
で、連続微分可能」とは限らない。
但し、「
が
で微分可能であり、導関数が
で、連続」ならば、「
は
で、連続微分可能」である。
全微分[編集]
に
座標系が定まっているとする。
式 (1-14) の
は全て
から
への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に
(5-1)
である。ここで
は転置を意味する。すなわち
とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列(横ベクトル)である。
式 (4-4) より
は、
(5-2)
で定まる行列値関数であるため、
(5-3)
であり、
(5-4)
がわかる。ここで、
を
、
を
と書くと、
(5-5)
となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、
(5-6)
となる。
微分の“逆問題”[編集]
スカラーポテンシャルの定義[編集]
を、
の開集合とし、
(6-1-1)
を、
上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、
各成分が関数である行列のことを意味する。
式(6-1-1)の
に対し、
(6-1-2)
を充たす、一変数スカラー値関数
を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、
のスカラーポテンシャルという。
以下、1行n列の行列値関数
があたえられたとき、
のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法(所謂ポアンカレの補助定理)について述べる[注 3]。
偏導関数に関する「微積分学の基本定理」[編集]
を、
の開集合とし、
を
上で定義された多変数スカラー値関数とする。
を、
内の点とする。(つまり、
)
を、
のベクトルとする。(
でもよい。)
このとき、
=
(6-2-1)
が成立する。但し、
を充たす全ての
に対して、
(6-2-2)
が成り立っているものとする。
以下、(6-2-1)を示す。まず、
(6-2-3)
で、
![{\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}h(\mathbf {x} )=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63826a4ebb2b1c754cf87b66e89be1104684577)
(6-2-4)
である。但し、
は、(1-9)同様、
(6-2-5)
である。
(6-2-4)の右辺を、sについて(一変数関数の意味で)積分すると、
=
(6-2-5)
従って、(6-2-1)が分かる。
ポアンカレの補助定理の準備[編集]
(6-1-1)の
に対し、作用積分
を定義する。
(6-3-1)
を
の点とする。また、
を、
の開集合とし、さらに
が
を中心に星型とする。
が
を中心に星型とは、任意の
の点
と、任意の
に対し、
(6-3-2)
であることを意味する。
は固定されているものとする。また、
![{\displaystyle {\textbf {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85631435f001c884eca834164392982c621f40e2)
(6-3-3)
も固定されていると考える。
式(6-1-1)の、
上で定義された1行n列の行列値関数
に対し、
を
=
(6-3-4 )
と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数
(6-3-5)
は、
についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、
を、点
と、
実数
を対応させる多変数スカラー値関数
![{\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee8ef50c55628cf07f329a21d574d68d42115c4)
(6-3-6)
とする。以降、点
は、変数とみなす。
- ^ 本記事では、「
の第 i 標準座標系」は、
(x を文中イタリック)、「
の第 i 成分」は
(x を通常表記)で書き分けている。
- ^ Spivak と岩堀に後述の
方向以外の偏微分に関する記載がある。Spivak では
という記号をあてている。本記事の記号は岩堀に合わせた。理由は、「偏微分」を表す記号は
のほうがしっくりときそうだからである。
- ^ 正確にはポアンカレの補助定理(ポアンカレの補題)の微分一形式版と等価な命題を述べる。「補助定理」、「補題」の名とは裏腹に、ポアンカレの補助定理は、本節の最終目標である。ポアンカレの補助定理の証明には、ストークスの定理が補題として必要としている本もあるが、積分経路自体の取り方が、各点ごとに決まっている本記事の流儀では、ストークスの定理は不要である。積分に関して必要な予備知識は、一変数関数の積分(数Ⅲ程度)に限られる。
参考文献[編集]
- Michael Spivak『多変数の解析学―古典理論への現代的アプローチ』齋藤 正彦 (訳)(新装版)、東京図書、2007年4月。
- 岩堀 長慶, 他『微分積分学』裳華房、1993年。
- 島 和久『多変数の微分積分学』近代科学社、1991年9月。
- Frank W. Warner (2010). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Graduate Texts in Mathematics. Springer New York