合成体

{\begin{matrix}L\\|\\AB\\\diagup \quad \diagdown \\A\qquad \quad B\\\diagdown \quad \diagup \\A\cap B\\|\\K\end{matrix}}

拡大

A /(A \cap B)

のいくつかの性質は合成体への拡大

AB/B

に持ちあがる。その様子はあたかもそれらが平行四辺形を成すようである

数学における体の合成あるいは合成体（ごうせいたい、英: composite field）は、それら体をすべて含む最小の体を言う。

$A, B$ が適当な体 $L$ の部分体である^[1]とき、（内部）合成体 $AB$ は、体 $A$ に $B$ を添加して得られる体 $A (B)$ として定義される。これは、 $B$ の元の $A$ -係数線型結合の全体に一致し、また $A, B$ をともに含む $L$ の部分体すべての交わりにも一致する。この体の添加は対称的で、 $A (B) = B (A)$ が成り立つ。

$A, B$ がともに第三の体の部分体となることが明らかでないときには、（外部）合成体が体のテンソル積を用いて定義される。

$A, B$ が体の拡大 $L/K$ の中間体で、ともに $K$ の有限次拡大のとき、合成体の拡大次数は個々の拡大次数の最小公倍数以上、積以下: $\operatorname {l.c.m} ([A:K],[B:K])\leq [AB:K]\leq [A:K]\cdot [B:K]$ である。特に $A, B$ が線型無関連ならば、 $[AB : K]= [A : K]\cdot[B : K]$ が成り立つ。これは例えば。 $A, B$ それぞれの拡大次数が互いに素なときに起きる。

共通の拡大体を持つ任意個数の体の合成も考えることができる。例えば、代数的数全体の成す体は、有理数体 $Q$ の任意の有限次拡大体を部分体として含み、それら有限次拡大体すべての合成体に等しい。

ガロア理論の枠組みにおいて、以下が成立する^[2]:

$K$ を $A, B$ の共通の部分体とし、 $A/K$ がガロワ拡大であるとき、

拡大 $AB/B$ および $A /(A \cap B)$ はガロワ拡大であり、
写像の定義域の制限によってガロワ群の間の群同型 $Gal(AB / B) ≅ Gal(A /(A \cap B))$ が成り立つ。

参考文献

^ Lang 1978, p. 163.
^ Lang 1978, pp. 196–197.

(en) Serge Lang, Algebra,‎ 1978 [détail de l’édition]

Roman, Steven (1995). Field Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94407-9 , especially chapter 2

外部リンク

[FOOTNOTELang1978163-1] Lang 1978, p. 163.

[FOOTNOTELang1978196–197-2] Lang 1978, pp. 196–197.

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