充填ジュリア集合

複素力学系における充填ジュリア集合（じゅうてんジュリアしゅうごう、英: filled Julia set または英: filled-in Julia set）は、多項式の複素函数を繰り返し適用したときに無限に発散しない複素数の集合である。反復する複素函数が2次函数のような簡単な場合でも、充填ジュリア集合は複素平面上に複雑で多様な構造を持ったものとして現れる。

コンピュータを使えば複素平面上の充填ジュリア集合を近似的に描くことができる。充填ジュリア集合の境界は大抵の場合でフラクタルと呼ばれる自己相似形状となっており、ジュリア集合と呼ばれる。複素定数を持つ2次函数を考え、その充填ジュリア集合が連結した集合になるような定数の集まりは、マンデルブロ集合の名で知られる。

定義

$ℂ$ を複素平面、 $P : ℂ \to ℂ$ を2次以上の複素多項式函数、 $P n$ を $P 0 (z) = z, P 1 (z) = P (z), P 2 = P (P (z)), \dots, P n = P (P n -1 (z))$ で定まる $P$ の $n$ 回反復合成とする。この反復合成を使って

z,\ P(z),\ P^{2}(z),\ \ldots

というような無限に続く複素数列（複素平面上の点列）を考えるとき、与える $z$ に依存して点列は様々な挙動を示し、 $z$ によって点列は原点から限りなく離れていく^[1]。このような発散する点列を生み出す $z$ を集めた集合が充填ジュリア集合である^[2]。言い換えると、充填ジュリア集合（英: filled Julia set または英: filled-in Julia set）とは

K_{P}=\{z\in \mathbb {C} \mid \lim _{n\rightarrow \infty }P^{n}(z)\nrightarrow \infty \}

で定義される集合 $K P$ である^[3]^[4]。一般に、函数 $f$ の充填ジュリア集合は $K f$ や $K (f)$ と書かれる^[3]^[5]。

充填ジュリア集合は、次で定義される発散点集合

I_{P}=\{z\in \mathbb {C} \mid \lim _{n\rightarrow \infty }P^{n}(z)\rightarrow \infty \}

とは補集合の関係 $K P = ℂ - I P$ にある^[3]。また、充填ジュリア集合の境界 $Bd K P$ をジュリア集合という^[3]。

簡単な例で言うと、 $P (z) = z 2$ の場合は

$|z| < 1$ のとき、 $n \to \infty$ で $| P n (z)| \to 0$
$|z| = 1$ のとき、 $| P (z)| = 1$
$|z| > 1$ のとき、 $n \to \infty$ で $| P n (z)| \to \infty$

なので、原点を中心とする単位円板 ${| z | \leq 1}$ が充填ジュリア集合になっている^[6]。加えて、 ${| z | > 1}$ が発散点集合、 ${| z | = 1}$ がジュリア集合である^[3]。

性質

以上のことから、 $D$ を原点を中心とする半径 $r$ の閉円板とすると、

K_{P}=\bigcap _{n\geq 0}P^{-n}(D)

が成り立つ^[7]。ここで、 $P - n$ は $P n$ の逆像 $P - n (D) = {z \in ℂ | P n (z) \in D}$ を表す^[10]。

$P (z) = z 2 + c$ について $| c | = 0.7885$ の範囲で $c$ を変化させたときの充填ジュリア集合（黒い部分）の様子。黒い部分が存在しないときは、最も明るい色が集積している部分が充填ジュリア集合に近い

その他の基本的な性質としては、 $K P$ は閉集合である^[9]。よって $K P$ はコンパクト集合である^[9]。さらに $K P$ は完全集合であり、孤立点を含まない^[12]。また、 $K P$ は完全不変集合で、 $P (K P) = P -1 (K P) = K P$ を満たす^[12]。

$K P$ が内部 $Int K P$ を持つとき、内部の各連結成分は単連結である^[12]。 $Int K P$ は吸引的な不動点や吸引的な周期点といったアトラクターの吸引領域となっている^[13]。 $P$ によっては相異なるアトラクターと吸引領域が併存し、 $K P$ はそれら吸引領域と境界の和集合になる^[14]。

充填ジュリア集合の境界 $Bd K P$ すなわちジュリア集合上も完全不変で、境界の点は反復合成を続けても境界に留まり続ける^[15]^[16]。境界（ジュリア集合）上の点はカオス的に振るまう^[17]^[16]。大抵のジュリア集合はフラクタルと呼ばれる自己相似形状となる^[18]。 $P (z) = z 2 + c$ のような単純な多項式関数であっても、大変複雑で多種多様な構造の充填ジュリア集合が出現し得る^[19]。

$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}dP/dz(z) = 0$ を満たす $z$ を臨界点という。 $K P$ が全ての（有限な）臨界点を含むとき、 $K P$ は連結である^[20]^[7]。逆に $K P$ が臨界点を1つも含まないとき、 $K P$ は全不連結である^[21]^[7]。また、 $K P$ が全不連結のとき、 $K P$ はカントール集合と同相で、ジュリア集合と一致する^[21]^[7]。 $P (z) = z 2 + c$ では $z = 0$ が臨界点になる^[22]。この2次函数の充填ジュリア集合が連結であるような定数 $c$ の集合を、また同値なことだが充填ジュリア集合が $z = 0$ を含まないような定数 $c$ の集合をマンデルブロ集合という^[23]。

コンピュータによる描写

コンピュータを用いると、充填ジュリア集合を描くことは比較的簡単である^[24]。描写は、充填ジュリア集合の定義そのものを使って行える^[25]。与えた点の反復合成が無限大へ発散するかどうかを判別し、無限大へ発散しない点と発散する点を塗り分ければ、前者で塗った範囲が近似的な充填ジュリア集合になる^[25]。 $P (z) = z 2 + c$ の例では、反復した数値が $| c |$ と $2$ いずれかの大きな数値を超えれば無限大に発散すると判別できる^[10]。実際の処理手順では、これらの数値を超えるか否か（以下、逃走判断規準と呼ぶ）を有限回の反復回数で判断する^[26]。すなわち、最大反復回数を $N$ として、 $N$ 回目までの反復計算で逃走判断規準を満たしたら無限大へ発散する点、 $N$ 回目までの反復計算で逃走判断規準を満たさなければ充填ジュリア集合に属する点と判断する^[27]。

ただし、無限大への発散を有限の反復回数で判断する点は、不正確な描写の原因にもなりうる^[27]。通常は打ち切りの反復回数を30回から40回としても十分だが、拡大した図を得るには反復回数を増やす必要がある^[27]。また、充填ジュリア集合が全不連結のときはうまく働かないこともある^[28]。

充填ジュリア集合のカラフルな描写を行うときは、充填ジュリア集合の外側の点を逃げていく速さで色付けすることがある^[29]^[27]。つまり、逃走判断基準に達したときの反復回数が

少なければ、赤
中程度であれば、黄や緑
多ければ、青や紫

などのように充填ジュリア集合の外側の領域を色付けする^[29]^[27]。

描写の例
$P (z) = z 2 - 0.12256\dots - 0.74486\dots i$ （連結な充填ジュリア集合）
$P (z) = z 2 - 0.06 + 0.68 i$ （連結な充填ジュリア集合）
$P (z) = z 2 - 0.618\dots$ （連結な充填ジュリア集合）
$P (z) = z 2 + 0.45 + 0.1428 i$ （全不連結な充填ジュリア集合）
$P (z) = z 2 - 0.6 + 0.6 i$ （全不連結な充填ジュリア集合）
$P (z) = z 3 - 0.2634 + 1.2594 i$
$P (z) = z 4 + z$
$P (z) = z 6 + az + c$
$a = 0.06968\dots - 0.1079\dots i$
$c = 0.46875 - 0.5703125 i$

出典

^ 芹沢 1995, pp. 44–45.
^ 芹沢 1995, p. 70.
^ ^a ^b ^c ^d ^e 上田・谷口・諸沢 1995, p. 2.
^ Devaney 2003, p. 275.
^ Falconer 2006, p. 270.
^ デバニー 2007, pp. 229–234.
^ ^a ^b ^c ^d ^e 宍倉 1989, p. 43.
^ Falconer 2006, p. 272.
^ ^a ^b ^c Falconer 2006, p. 273.
^ ^a ^b ^c デバニー 2007, p. 238.
^ デバニー 2007, p. 276.
^ ^a ^b ^c 上田・谷口・諸沢 1995, p. 6.
^ 芹沢 1995, pp. 51–52, 70.
^ 芹沢 1995, pp. 84–87.
^ Devaney 2003, p. 253.
^ ^a ^b 芹沢 1995, p. 72.
^ Devaney 2003, p. 255.
^ Falconer 2006, p. 271.
^ 宍倉 1989, p. 34.
^ 上田・谷口・諸沢 1995, p. 7.
^ ^a ^b 上田・谷口・諸沢 1995, p. 8.
^ Devaney 2003, p. 236.
^ 宍倉 1989, pp. 43–44.
^ 芹沢 1995, p. 74.
^ ^a ^b デバニー 2007, p. 242.
^ デバニー 2007, pp. 238, 243.
^ ^a ^b ^c ^d ^e デバニー 2007, p. 243.
^ デバニー 2007, pp. 246–247.
^ ^a ^b Devaney 2003, p. 293.

参照文献

上田哲生・谷口雅彦・諸沢俊介、1995、『複素力学系序説 ―フラクタルと複素解析―』初版、培風館 ISBN 4-563-00585-1
Robert L. Devaney、國府寛司・石井豊・新居俊作・木坂正史（新訂版訳）、後藤憲一（訳）、2003、『カオス力学系入門』新訂版、共立出版 ISBN 4-320-01705-6
ロバート・L・デバニー、上江洌達也・重本和泰・久保博嗣・田崎秀一（訳）、2007、『カオス力学系の基礎』新装版、ピアソン・エデュケーション ISBN 978-4-89471-028-3
芹沢浩、1995、『複素数とフラクタル』、東京図書 ISBN 4-489-00466-4
Kenneth Falconer、服部久美子・村井浄信（訳）、2006、『フラクタル幾何学』、共立出版〈新しい解析学の流れ〉 ISBN 4-320-01801-X
宍倉光広、1989、「Riemann球面上の複素力学系について」、『数学』41巻1号、日本数学会、doi:10.11429/sugaku1947.41.34 pp. 34–48

外部リンク

ウィキメディア・コモンズには、充填ジュリア集合に関するカテゴリがあります。

[FOOTNOTE芹沢199544–45-1] 芹沢 1995, pp. 44–45.

[FOOTNOTE芹沢199570-2] 芹沢 1995, p. 70.

[FOOTNOTE上田・谷口・諸沢19952-3] 上田・谷口・諸沢 1995, p. 2.

[FOOTNOTEDevaney2003275-4] Devaney 2003, p. 275.

[FOOTNOTEFalconer2006270-5] Falconer 2006, p. 270.

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[FOOTNOTE宍倉198943-7] 宍倉 1989, p. 43.

[FOOTNOTEFalconer2006272-8] Falconer 2006, p. 272.

[FOOTNOTEFalconer2006273-9] Falconer 2006, p. 273.

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[FOOTNOTEデバニー2007276-11] デバニー 2007, p. 276.

[FOOTNOTE上田・谷口・諸沢19956-12] 上田・谷口・諸沢 1995, p. 6.

[FOOTNOTE芹沢199551–52,_70-13] 芹沢 1995, pp. 51–52, 70.

[FOOTNOTE芹沢199584–87-14] 芹沢 1995, pp. 84–87.

[FOOTNOTEDevaney2003253-15] Devaney 2003, p. 253.

[FOOTNOTE芹沢199572-16] 芹沢 1995, p. 72.

[FOOTNOTEDevaney2003255-17] Devaney 2003, p. 255.

[FOOTNOTEFalconer2006271-18] Falconer 2006, p. 271.

[FOOTNOTE宍倉198934-19] 宍倉 1989, p. 34.

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[FOOTNOTE上田・谷口・諸沢19958-21] 上田・谷口・諸沢 1995, p. 8.

[FOOTNOTEDevaney2003236-22] Devaney 2003, p. 236.

[FOOTNOTE宍倉198943–44-23] 宍倉 1989, pp. 43–44.

[FOOTNOTE芹沢199574-24] 芹沢 1995, p. 74.

[FOOTNOTEデバニー2007242-25] デバニー 2007, p. 242.

[FOOTNOTEデバニー2007238,_243-26] デバニー 2007, pp. 238, 243.

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表話編歴フラクタル
特徴	フラクタル次元 Assouad（英語版） Box-counting（英語版） Correlation（英語版）ハウスドルフ Packing（英語版）位相再帰（英語版）自己相似自己相似過程スケール不変性
反復関数系	バーンズリーのシダカントール集合ドラゴン曲線レヴィC曲線コッホ雪片メンガーのスポンジシェルピンスキーのカーペットシェルピンスキーのギャスケットアポロニウスのギャスケットコッホ曲線空間充填曲線 T-square（英語版）
ストレンジアトラクター	多重フラクタル系（英語版）
L-system	空間充填曲線
Escape-time fractals	バーニングシップ・フラクタルジュリア集合充填リアプノフ・フラクタルマンデルブロ集合ニュートン・フラクタル（英語版）
確率的フラクタル	ブラウン運動非整数ブラウン運動ブラウンの木（英語版）拡散律速凝集フラクタル地形 Lévy flight（英語版）パーコレーション理論（英語版） Self-avoiding walk（英語版）
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その他	"How Long Is the Coast of Britain?（英語版）" 海岸線のパラドックス List of fractals by Hausdorff dimension（英語版） The Beauty of Fractals（英語版） (1986 book)
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