七次方程式

七次方程式（しちじほうていしき、ななじほうていしき、英語: septic equation）とは、次数が7であるような代数方程式のこと。

概要

一般に一変数の七次方程式は

$a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{7}\neq 0)$

の形で表現される。

解法

超楕円関数をした解法がある。

• 交代群 A₇ ${\mathfrak {A}}_{7}$
• 対称群 S₇ ${\mathfrak {S}}_{7}$
• ガロア群
• 種数 3 のテータ関数

ガロア群

ファノ平面

ガロア群の種類に応じた解法となる。

• S₇ 対称群（位数 5040）
• A₇ 交代群（位数 2520）
• L(3, 2) ファノ平面の対称性の群（位数 168）

→「PSL(2, 7)」も参照

• M₇ メタ巡回群（位数 42） - フロベニウス群 F₄₂
• 半メタ巡回群（位数 21） - フロベニウス群 F₂₁
• D₇ 二面体群（位数 14）
• C₇ 巡回群（位数 7）

参考文献

• 群論からみた Galois 理論, 楕円曲線論へと導く環論と体論
• Konstruktive Galoistheorie für Polynome kleinen Grades über Q

関連項目

• ヒルベルトの第13問題 - ヒルベルトの23の問題 任意の7次方程式を2変数の関数だけで解くことの不可能性
• リーマン・テータ関数 - 楕円テータ関数の多変数化

外部リンク

• 解の公式を一般化しよう：「五次方程式の解の公式はない」は嘘 - YouTube