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数学の微分積分学において一般化されたライプニッツの法則 (generalized Leibniz rule), 一般のライプニッツの法則(いっぱんのライプニッツのほうそく、英: general Leibniz rule[1];一般ライプニッツ則)あるいは単にライプニッツの法則は、積の法則(これもまたライプニッツの法則と呼ばれる)の一般化であり、f, g を n回微分可能な関数とするとき、それらの積 fg の n階微分が
![{\displaystyle (fg)^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a0f86b521d4016874281c4cd1e6bb8f6fccad4)
で与えられることを述べるものである。ここで (n
k) は二項係数である。ドイツの哲学者・数学者のゴットフリート・ライプニッツの名に因む。
この法則は、積の法則と数学的帰納法を用いることで証明できる。
- n = 1 のとき (積の微分法則)
![{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcc2675f11f31c41f08005f4428657ede1b7c56)
- n = 2 のとき
![{\displaystyle (fg)''=f''g+2f'g'+fg''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18257fecb09793644656686c89230911f07e977)
- n = 3 のとき
![{\displaystyle (fg)'''=f'''g+3f''g'+3f'g''+fg'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d8f26aeda85e053dba60f6c023bfc5bedd1eb0a)
各項の係数は二項定理と同様に二項係数となり、パスカルの三角形から求めることができる。
多因子版[編集]
f1, …, fm が m個の n階微分可能函数のとき、
![{\displaystyle (f_{1}f_{2}\dotsm f_{m})^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}}f_{1}^{(k_{1})}f_{2}^{(k_{2})}\dotsm f_{m}^{(k_{m})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b0f4a0b0081baadf0bcb822d60f6bcee0aeed5)
と書ける。
ここで、
は多項係数である。
多変数版[編集]
多重指数記法を使い、より一般に
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\beta }}(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3ebee4e2f6477cb19eeba4c9bd317c7cd6b91b)
の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素の合成の表象を計算する公式の導出に用いられる。実は、P, Q を(係数が十分多くの回数微分可能であるような)微分作用素とし、R ≔ P ∘ Q とするとき、R もまた微分作用素であり、R の表象が
で与えられるから、ここに直接計算によって
![{\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51635603af2ce73c7be2ad37a9ba765c67aa5ec2)
を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式 (Leibniz fomula) と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間には環の構造が入る。
関連項目[編集]
- ^ Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318
外部リンク[編集]