リース函数

数学においてリース函数（リースかんすう、英: Riesz function）とは、リーマン予想との関係でリース・マルツェルによって定義された、次の冪級数で与えられる整函数のことを言う：

${\rm {Riesz}}(x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}.$

$F(x)={\frac {1}{2}}{\rm {Riesz}}(4\pi ^{2}x)$ とすれば、双曲余接のゼロを中心としたローラン級数展開の係数としてそれは定義される。もし

${\frac {x}{2}}\coth {\frac {x}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=1+{\frac {1}{12}}x^{2}-{\frac {1}{720}}x^{4}+\cdots$

であるなら、F は次で定義される。

$F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{c_{2k}(k-1)!}}=12x-720x^{2}+15120x^{3}-\cdots$

ζ(2k) の値は k が増加するにつれて 1 に近付き、リース函数に対する級数を $x\ \exp(-x)$ に対する級数と比較することで、それは整函数を定義することが分かる。また F は

$F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k+1}}x^{k}}{B_{2k}}}\$

で定義されることもある。

$n^{\overline {k}}$ はドナルド・クヌースの記法における上昇階乗であり、B_n はベルヌーイ数である。この級数は代替的な項の一つであり、函数は x が負の方向に増大するにつれて負の無限大へと発散する。正の x についてはより興味深く、繊細な問題となる。

リース指標

1/2 より大きい任意の冪乗 e に対して、次が成立する。

$\operatorname {Riesz} (x)=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty )$

ただしこの右辺はランダウの記号であり、値は正および負のいずれの方向についても考えられている。リースは、上の式が 1/4 より大きい任意の e について成り立つことはリーマン予想と同値であることを示した。ただしその同じ論文においては、やや悲観的な次の注釈も見られる «Je ne sais pas encore decider si cette condition facilitera la vérification de l'hypothèse»。

リース函数のメリン変換

リース函数は、メリン変換を介してリーマンゼータ函数と関連付けられる。今

${\mathbf {M} }({\rm {Riesz}}(z))=\int _{0}^{\infty }{\rm {Riesz(z)}}z^{s}{\frac {dz}{z}}$

とすれば、$\Re (s)>-1$ のときに

$\int _{0}^{1}{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}$

は収束し、一方 $\Re (s)<-{\frac {1}{2}}$ であれば成長条件により

$\int _{1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}$

は収束することが分かる。これを組み合わせることで、リース函数のメリン変換は帯状領域 $-1<\Re (s)<-{\frac {1}{2}}$ の上で定義されることが分かる。この領域上では、${\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}={\mathbf {M} }({\rm {Riesz}}(z))$ が成り立つ。

するとメリン逆変換により、リース函数を式

${\rm {Riesz}}(z)=\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}z^{-s}ds$

で表すことが出来る。ここで c は -1 と -1/2 の間の値である。リーマン予想が真であるなら、この積分の直線を -1/4 よりも小さい任意の値へと移動することが出来る。したがってリース函数の成長率の 4 乗根と、リーマン予想との同値性が分かる。

J. garcia（脚注を参照）は、ボレル和を使うことで $f(x)$ に関する次の積分表現を得た。

$\exp(-x)-1=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\rho ({\sqrt {x/t}})dt$

ここで $\rho (x)=x-\lfloor x\rfloor$ は 'x' の小数部分である。

リース函数の計算

F のマクローリン級数の係数の絶対値は、40番目の項 -1.753×10¹⁷ において最大値を取るまで増加である。一方、109番目の項において絶対値は 1 よりも小さくなる。はじめの 1000 個の項を取ることで、$|z|<9$ に対する $F(z)$ の非常に精確な値を得ることが出来る。しかしこの計算を行う際には、次数 1000 の多項式を、大きな分子あるいは分母の係数に対する有理数演算か、100 位を超える浮動小数点計算によって求める必要が生じうる。いずれの方法も、数値計算的に簡単なものではない。

その他の計算手法として、収束加速法（acceleration of convergence）が挙げられる。今

${\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}$

である。ζ(2k) は k が増大するにつれて 1 に近付くため、この級数は

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}=x\exp(-x)$

に近付く。実際、リースは次の式を示していた：$\ {\sum _{n=1}^{\infty }{\rm {Riesz(x/n^{2})=x\exp(-x)}}}$。

収束加速法に対するクンマーの方法を使うことで、収束率の改善された

${\rm {Riesz}}(x)=x\exp(-x)-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\zeta (2k)-1\right)\left({\frac {(-1)^{k+1}}{(k-1)!\zeta (2k)}}\right)x^{k}$

が得られる。

この手順を続けることで、収束に関するより良い性質を備える、リース函数に対する新たな級数を得ることが出来る：

${\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-2k}\right)$

$\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}\left(x/n^{2}\right)^{k}}{(k-1)!}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right).$

ここで μ はメビウス函数であり、項の再構成は絶対収束によって正当化される。再びクンマーの方法を適用することで、

${\rm {Riesz}}(x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\left(\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)-1\right)\right)$

と表すことが出来る。この項は終局的には、n の 1/4 乗によって減少となる。

上述の級数は至る所で絶対収束し、したがって項毎に微分可能であるため、導関数に関する次の式が得られる：

${\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right).$

この式は次のように整理できる：

${\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}+x\left(-{\frac {90}{\pi ^{4}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)\right).$

マレク・ウォルフは において、リーマン予想を想定しながら、十分大きな x に対して次の式を示している：

${\rm {Riesz}}(x)=const\times x^{1/4}\sin \left(\phi -{\frac {1}{2}}\gamma _{1}\log(x)\right).$

ここで $\gamma _{1}=14.13472514...$ はゼータ函数のはじめの非自明なゼロ点の虚部である。また $const=7.7750627...\times 10^{-5}$ および $\phi =-0.54916...=(-31,46447^{\circ })$ である。これは Herbert Wilf によって 1964 年に証明された リース函数のゼロ点と一致する。

参考文献

• Titchmarsh, E. C., The Theory of the Riemann Zeta Function, second revised (Heath-Brown) edition, Oxford University Press, 1986, [Section 14.32]
• Jose Javier garcia Moreta Borel Resummation & the Solution of Integral Equations Prespace time Journal Vol 4, No 4 (2013)Math Physics, Modified GR Solutions & Explorations of Natural Constants http://www.prespacetime.com/index.php/pst/issue/view/42