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数学においてラプラスの方法(らぷらすのほうほう、英: Laplace's method)とは、ピエール=シモン・ラプラスにちなんだ積分
![{\displaystyle \int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b308c275622ae491c4e19c3445d33e38785975fe)
の近似に用いられる方法。ここで f(x) は二回連続微分可能な関数、n は大きな数で、端点 a, b は有限でなくともよい。この方法は Laplace (1774) で初めて用いられた。
ラプラスの方法のアイディア[編集]
関数 f(x) = sin(x)/x は原点 0 において最大値をとる。被積分関数 enf(x) を n = 0.5 のとき(上図)と n = 3 のとき(下図)に青色で示した。数 n が大きくなるにつれて、被積分関数のガウス関数(赤色)による近似がよくなる。この観察がラプラスの方法の背後にある。
関数 f(x) が点 x0 においてのみ最大値をとると仮定する。数 n に対して、次の関数を考える。
![{\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=nf(x)\\h(x)&=e^{nf(x)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4fc8c6b42e2356151e2b7339fc40151cc38dd2)
点 x0 において関数 g と h も最大値をとることに注意する。また、このとき
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {g(x_{0})}{g(x)}}&={\frac {nf(x_{0})}{nf(x)}}={\frac {f(x_{0})}{f(x)}}\\{\frac {h(x_{0})}{h(x)}}&={\frac {e^{nf(x_{0})}}{e^{nf(x)}}}=e^{n(f(x_{0})-f(x))}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed3c45c87ad656e9a3dfa9ae042be2fa54cd9bb)
である。
数 n が大きくなるにつれて h の比は指数的に大きくなる一方で g の比は変化しない。したがって、関数の積分における支配的な寄与は点 x0 の近傍における点 x のみから来るため近似ができる。
厳密な主張[編集]
f(x) は区間 [a, b] 上の二回連続微分可能な関数で、ある点 x0 ∈ (a, b) でのみ
![{\displaystyle f(x_{0})=\max _{a\leq x\leq b}f(x),\quad f''(x_{0})<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430858a9adafa60ce9922318a4fbdf95c0916e7b)
を満たすと仮定する。このとき
![{\displaystyle \int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx\sim e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n|f''(x_{0})|}}}\qquad (n\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f588148fe09b85e6c2a110206bfeb69f0f239f1d)
である[1]。(ここで ∼ は両辺の比が n → ∞ の極限で 1 に収束することを意味する。)
他の定式化[編集]
ラプラスの方法は
![{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)e^{nf(x)}\,dx\sim g(x_{0})e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n|f''(x_{0})|}}}\qquad (n\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7c2c9cc9bc0e3450366f2889e409a869945ad6)
と書かれることもある。
例:スターリングの公式[編集]
ラプラスの方法はスターリングの公式
![{\displaystyle n!\sim n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f159f0205cbf91000c80477e3479f310860a46)
の導出に用いることができる。ガンマ関数の定義から
![{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{n}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ecac24a28d48cb5a1129549e03129f8f3cc05e)
が得られる。変数変換 t = nx を考えると dt = ndx ゆえ
![{\displaystyle {\begin{aligned}n!&=\int _{0}^{\infty }e^{-nx}(nx)^{n}n\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}x^{n}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}e^{n\ln x}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln x-x)}\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c424d0046d15fce4c7431de850299450a07571f)
この積分はラプラスの方法が適用できる形である。いま f(x) = ln x − x とおけば、これは二階微分可能で、
![{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}-1,\quad f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0aa6885daa83781a44ce03342c4365e20d6edb)
よって関数 f(x) は点 x0 = 1 でのみ最大値 f(x0) = −1 をとり、f′′(x0) = −1 である。したがって
![{\displaystyle n!\sim n^{n+1}e^{-n}{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03564dca182385cab09cd27fe3d768449890b8d5)
となる。
参考文献[編集]
関連項目[編集]
この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目saddle point approximationの本文を含む