ユークリッドの補題

ユークリッドの補題（ユークリッドのほだい、英: Euclid's lemma）またはユークリッドの第一定理（ユークリッドのだいいちていり、英: Euclid's first theorem）とは素数に関する基本的な性質について述べた次の補題である：

ユークリッドの補題 ― 素数 p が 2 つの整数の積 ab を割り切るなら、その素数 p は a または b の少なくとも 1 つを割り切る。

この性質は整数論の基本定理を証明する鍵となる 。

ユークリッドの補題の名は、古代ギリシアの数学者アレクサンドリアのエウクレイデスの著作『原論』第7巻の命題30で示されたことによる。

例

たとえば、p = 19、a = 133、b = 143 の場合、ab = 133 × 143 = 19019 について、ab = 19019 は p = 19 で割り切れるので、ユークリッドの補題から a = 133, b = 143 の少なくとも一方は p = 19 で割り切ることができる。実際、133 ÷ 19 = 7 であり a = 133 は p = 19 で割り切れる。

反例

ユークリッドの補題は p が合成数の場合には成り立たない。 たとえば、p = 10、a = 4、b = 15 の場合、合成数 p = 10 は積 ab = 4 × 15 = 60 を割り切るにもかかわらず、 p = 10 は a = 4 を割り切れないし b = 15 も割り切ることができない (ab = 60 = 10 × 6)。

定式化

p を素数とし、2 つの整数 a, b の積 ab は p で割り切れるとする（このことは記号的に p $\mid$ ab と表す。これの否定は p $\nmid$ ab と表され、ab が p で割り切れないことを示す）。このとき p $\mid$ a または p $\mid$ b、あるいはその両方が成り立つ。

$p\mid ab\Rightarrow p\mid a\lor p\mid b\qquad \left(p\nmid ab\lor p\mid a\lor p\mid b\right).$

同値な言明として以下のようなものがある。

• p $\nmid$ a かつ p $\nmid$ b ならば p $\nmid$ ab

$p\nmid a\land p\nmid b\Rightarrow p\nmid ab$

• p $\nmid$ a かつ p $\mid$ ab ならば p $\mid$ b

$p\nmid a\land p\mid ab\Rightarrow p\mid b$

一般化

一般化された補題もまたユークリッドの補題と呼ばれる：

定理 ― c が a と互いに素であり、かつ c $\mid$ ab ならば、c $\mid$ b である。

この定理がユークリッドの補題の一般化であることは、c が素数なら

• c $\mid$ a
• c は a と互いに素のため c $\nmid$ a、従って c $\mid$ b

のいずれかであることによる。

証明

ベズーの補題による証明

ベズーの補題を利用した証明をする。ベズーの補題によれば、x, y が互いに素な整数であるなら（x, y の最大公約数が 1 であるなら）、

$rx+sy=1$

(1)

を満たすような整数 r, s が存在する。

a, c が互いに素であり、かつ c $\mid$ ab であるとすれば、ベズーの等式 (1) より、以下の等式を得る。

$rc+sa=1.$

(2)

(2) の両辺に b を掛ければ

$rcb+sab=b$

(3)

となる。(3) の左辺の第一項は c で割り切れ、第二項は ab で割り切れるので仮定より c でも割り切れる。従ってそれらの和も c で割り切れるから c $\mid$ b が成り立つ。これは上述のユークリッドの補題の一般化になっている。

最小公倍数・最大公約数の性質から

公倍数は最小公倍数の倍数である。…①

公約数は最大公約数の約数である。…②

二つの正整数 $a,c$ の最小公倍数を $l$、最大公約数を $g$ とするとき、

$ac=lg$

の関係がある。…③

③は①②より直接証明できる。

今 $a,c$ が互いに素であるとき $g=1$．ゆえに $l=lcm(a,c)=ac$．…④

ここでユークリッドの補題の前提条件として $a,c$ が互いに素であり、かつ $c\mid ab$ のとき， $ab$ は $c$ の倍数かつ、当然 $a$ の倍数であるから、$ab$ は $a,c$ の公倍数． ④より $lcm(a,c)=ac$ で①より $ac\mid ab$．ゆえに $c\mid b$. これが証明すべきことであった．

『原論』の証明

『原論』では第7巻の命題30において、ユークリッドの補題が証明されている。『原論』にある証明はそのままでは意味を理解することが難しいので、Heath (1956, pp. 331f)にある証明を引用する。

命題19

もし四つの数が比例するならば，第1と第4の積は第2と第3の積に等しいであろう。そしてもし第1と第4の積が第2と第3の積に等しいならば，四つの数は比例するであろう。

命題20

同じ比をもつ2数のうち最小の数はそれと同じ比をもつ2数を，大きい数が大きい数を，小さい数が小さい数をそれぞれ割り切り，その商は等しい。

命題21

互いに素である2数はそれらと同じ比をもつ2数のうち最小である。

命題29

すべて素数はそれが割り切らないすべての数に対して素である。

命題30

もし二つの数が互いにかけあわせてある数をつくり，2数の積を何らかの素数が割り切るならば，それは最初の2数の一つを割り切るであろう。

証明

素数 c が ab を割り切るならば，c は a または b を割り切るであろう。
c が a を割り切らないと仮定せよ。
そうすれば，［命題29］より，c と a は互いに素である。
ab＝mc と仮定せよ。
そうすれば，［命題19］より，c ： a＝b ： m となる。
そうすれば，［命題20］と［命題21］より，自然数 n≧1 があって，b＝nc となる。
したがって，c は b を割り切る。
同様にして，c が b を割り切らないとき，c は a を割り切る。
したがって，c は a または b を割り切る。
これが証明すべきことであった。

参考文献

• Hardy, G. H.; Wright, E. M.; Wiles, A. J. (2008-09-15), An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5 
  • G. H・ハーディ、E. M・ライト『数論入門 I』丸善出版、2012年1月。ISBN 978-4-621-06226-5。  - 原書第5版（1979年刊）の邦訳。
• ハイベア・メンゲ 編『ユークリッド原論』中村幸四郎・寺阪英孝・伊東俊太郎・池田美恵訳・解説、共立出版。  - 全13巻の最初の邦訳。
  • 『ユークリッド原論』（ハードカバー）、1971年7月。ISBN 978-4-320-01072-7。 
    • （抜粋）『世界の名著9』 池田美恵訳 中央公論社 1972年。
  • 『ユークリッド原論』（縮刷版）、1996年6月。ISBN 978-4-320-01513-5。 
  • 『ユークリッド原論』（追補版）、2011年5月。ISBN 978-4-320-01965-2。 
• ハイベア・メンゲ 編『エウクレイデス全集』 （全5巻）、東京大学出版会。  - 「エウクレイデス全集」の世界初の近代語訳。
  • 第2巻 原論VII－X、斎藤憲 訳・解説、2015年8月。ISBN 978-4-13-065302-2
• Euclid (1956). The Thirteen Books of the Elements. Vol. 2 (Books III-IX). トーマス・L・ヒース. Dover Publications. ISBN 978-0-486-60089-5 - vol. 2
• 高木貞治『初等整数論講義』（第2版）共立出版、1971年10月。ISBN 978-4-320-01001-7。 

関連項目

• 整数論の基本定理
• ベズーの等式
• ユークリッドの互除法
• 有理根定理

外部リンク

• 『{{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語
• ユークリッドの補題の証明
• Weisstein, Eric W. "Euclid's Lemma". mathworld.wolfram.com (英語).