モジュラー形式の保型因子

数学において、モジュラー形式論に現れる保型因子（ほけいいんし、英: automorphic factor）は SL(2, R) 上で定義されるある種の解析函数である。さらに一般の群に対する議論は保型因子の項に譲る。

定義

重さ k の保型因子 (automorphic factor of weight k) とは

\nu \colon \Gamma \times {\mathfrak {H}}\to \mathbb {C}

なる函数 ν で、以下に掲げる四つの性質を満足するものを言う。ここで ${\mathfrak {H}}$ は上半平面、C はガウス平面をそれぞれ表し、また Γ は例えばフックス群のような SL(2, R) の部分群である。したがって、Γ の元 γ は二行二列の行列として

\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

のように書くことができる。ただし、a, b, c, d は全て実数で、ad − bc = 1 を満たすものとする。

保型因子 ν が満足すべき条件とは、

Γ の元 γ を固定したとき、函数 ν(γ, z) は z に関して ${\mathfrak {H}}$ 上の正則函数である。
一定の実数 k が存在して、 ${\mathfrak {H}}$ の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、
$\vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}$
が成立する。
${\mathfrak {H}}$ の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、
$\nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)$
が成立する。ここに、δz は δ の定める一次分数変換による z の像である。
I を二次の単位行列として、−I が Γ に属するならば、 ${\mathfrak {H}}$ の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、
$\nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)$
が成り立つ。

任意の保型因子は ‖υ(γ)‖ = 1 なる函数 υ を用いて

\nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}

の形に書くことができる。函数 υ: Γ → S¹ は乗因子系 (multiplier system) と呼ばれる。明らかに

\upsilon (I)=1

が成り立つ。一方、−I ∈ Γ なるときは

\upsilon (-I)=e^{-i\pi k}

が成り立つ。

Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (Chapter 3 is entirely devoted to automorphic factors for the modular group.)