マンデルスタム表示

マンデルスタム表示（マンデルスタムひょうじ）とは、素粒子の散乱振幅の積分表示のひとつ。二体反応 $A+B\to C+D$ の振幅は、エネルギーと移行運動量のように2つの独立な変数の関数である。そこでスタンリー・マンデルスタムは、この2変数の関数としての散乱振幅の解析性を示す表示を提案した。これがマンデルスタム表示と呼ばれる。

マンデルスタム変数

マンデルスタムはsチャンネルの反応と呼ばれる $A+B\to C+D$ という反応を考え、 $s=-(p_{1}+p_{2})^{2}$ ， $t=-(p_{1}-p_{3})^{2}$ ， $u=-(p_{1}-p_{4})^{2}$ という3変数を導入した。これらをマンデルスタム変数と呼ぶが、 $s+t+u=m_{A}^{2}+m_{B}^{2}+m_{C}^{2}+m_{D}^{2}$ で結びついているので独立な変数は2個である。変数sはAとBの重心系におけるエネルギーの二乗を表し、tはAからCへの（移行運動量）²を表し、uはAからDへの（移行運動量）²を表す。

マンデルスタム表示で重要なのは、この表示が同時に次の2つの反応を表すことである。

A+{\bar {C}}\to D+{\bar {B}}

・・・「tチャンネルの反応」

A+{\bar {D}}\to C+{\bar {B}}

・・・「uチャンネルの反応」

ここで ${\bar {B}},{\bar {C}},{\bar {D}}$ は $B,C,D$ の反粒子である。反応振幅は互いに解析接続で結ばれている。3つの反応の振幅 $A(s,t,u)$ はスペクトル関数 $\rho _{st}(s,t),\rho _{su}(s,u),\rho _{tu}(t,u)$ を使って以下のように書くことができる。