フィンスラー多様体

フィンスラー多様体（フィンスラーたようたい、英: Finsler manifold）とは、可微分多様体 $M$ であって各接空間 $T x M$ でミンコフスキー汎関数 $F (x, -)$ (非対称のときもある) が与えられ、任意の滑らかな曲線 $γ: [a, b] \to M$ の長さが

L(\gamma )=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,\mathrm {d} t

であるものと定義される、微分幾何学の概念である。

正接ノルムが内積から誘導されていないことから、フィンスラー多様体はリーマン多様体よりも一般的な概念と言える。

フィンスラー多様体は、2点間の距離がそれらを結ぶ曲線の最小長で定義されるときintrinsicな準距離空間になる。

ポール・フィンスラーがこの幾何学を研究し(Finsler 1918)、エリカルタン (1933)がそのことにちなんでフィンスラー多様体と名付けた。

定義

フィンスラー多様体は、可微分多様体 $M$ であって、接束上の連続非負関数 $F : T M \to [0, +\infty)$ であるフィンスラー計量が $M$ の各点 $x$ に対して、以下の性質をもつものである：

（劣加法性） $x$ で $M$ に正接する 2 つの任意ベクトル $v, w$ に対して $F (v + w) \leq F (v) + F (w)$ 。
（正の斉次性）任意の $λ \geq 0$ に対して $F (λ v) = λ F (v)$ 。
（正定値性） $v = 0$ でない限り $F (v) > 0$ 。

つまり、 $F (x, -)$ は接空間 $T x M$ 上の非対称ノルム（英語版）である。フィンスラー計量 $F$ は「滑らか」である必要がある。より正確には

$F$ は $T M$ の零切断の補集合で滑らか。

劣加法の条件は次の強い凸性条件に置き換えることができる：

各接線ベクトル $v \neq 0$ について、 $v$ での $F 2$ のヘッセ行列は正定値である。

ここで、 $v$ における $F 2$ のヘッシアンは対称な双線型形式

\mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left[F(v+sX+tY)^{2}\right]\right|_{s=t=0}

である。これは $v$ における $F$ の基本テンソルとも呼ばれる。強い凸性は、 $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}u⁄F(u) ≠ v⁄F(v)$ の場合に厳密な不等式による劣加法性を意味する。 $F$ が強い凸性を持つならばそれは接空間のミンコフスキーノルムである。

さらに、

任意の接ベクトル $v$ に対して $F (- v) = F (v)$

のとき、フィンスラー計量は可逆であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の (通常の意味での) ノルムを定義する。

例

有限次元のノルム線型空間の滑らかな部分多様体 (開部分集合を含む) は、ベクトル空間のノルムが原点の外側で滑らかならばフィンスラー多様体である。
（擬リーマン多様体ではない）リーマン多様体はフィンスラー多様体の特殊なケースである。

ランダース多様体

$(M, a)$ をリーマン多様体とし、 $b$ を $M$ 上の微分 1 形式で

\|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,

を満たすものとする。ここで $a ij$ は $a ij$ の逆行列である。アインシュタインの縮約記法を用いている。すると

F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}

は $M$ 上のランダース計量を定義し、 $(M, F)$ は非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースであるランダース多様体である^[1]。

滑らかな準距離空間

$(M, d)$ を準距離とする。つまり $M$ は可微分多様体であり、 $d$ は $M$ の微分構造と次の意味での互換性をもつ：

$M$ の任意の点 $z$ の近傍で滑らかな $M$ のチャート $(U, ϕ)$ と定数 $C \geq 1$ が存在して、任意の $x, y \in U$ に対して次が成り立つ：
${\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi (x)\|.$
関数 $d : M \times M \to [0, \infty]$ がいくつかpunctureされた対角の近傍の中で滑らか。

するとフィンスラー関数 $F : T M \to [0, \infty]$ を

F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}}

で定義できる。ここで $γ$ は $M$ の任意の曲線で $γ(0) = x$ かつ $γ'(0) = v$ を満たす。このように得られたフィンスラー関数 $F$ は $M$ の接空間で非対称な（通常は非ミンコフスキー）ノルムに制限される。もともとの準距離から誘導されたintrinsicな計量 $d L : M \times M \to [0, \infty]$ は

d_{L}(x,y):=\inf \left\{\ \left.\int _{0}^{1}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{1}([0,1],M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma (1)=y\ \right\}

で復元でき、実際、任意のフィンスラー関数 $F : T M \to [0, \infty)$ からこの式によって $M$ 上のintrinsicな準計量 $d L$ を定義できる。

測地線

$F$ の均一性により、 $M$ 上の微分可能な曲線 $γ: [a, b] \to M$ の長さ

L[\gamma ]:=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\mathrm {d} t

は、正方向の再パラメーター化の下で不変である。等速曲線 $γ$ は、もしその十分に短いセグメント $γ| [c, d]$ が $γ(c)$ から $γ(d)$ までの長さを最小化するなら、フィンスラー多様体の測地線である。同様に、もしエネルギー汎関数

E[\gamma ]:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\mathrm {d} t

が固定端点 $γ(a) = x, γ(b) = y$ をもつ微分可能な曲線 $γ$ 上でその汎関数微分が消えるという意味で定常なら、 $γ$ は測地線である。

フィンスラー多様体上の正準スプレー構造

エネルギー汎関数 $E [γ]$ のオイラー・ラグランジュ方程式は $T M$ の局所座標系 $(x 1, ..., x n, v 1, ..., v n)$ で

g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0

である。ここで $k = 1, ..., n$ 、また $g ij$ は次で定義される基本テンソルの座標表現である：

g_{ij}(x,v):=g_{v}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{x},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{x}\right).

$v \in T x M$ に関して $F 2 (x, v)$ に強い凸性（英語版）を仮定すると、行列 $g ij (x, v)$ は正則であり、その逆行列は $g ij (x, v)$ と表される。すると $γ: [a, b] \to M$ が $(M, F)$ の測地線である必要十分条件は、接曲線 $γ': [a, b] \to T M ∖{0$ } が $T M ∖{0$ } 上で次式によって局所的に定義された滑らかなベクトル場 $H$ の積分曲線であることである：

\left.H\right|_{(x,v)}:=\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{(x,v)}\!\!-\left.2G^{i}(x,v){\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)},

ここで局所スプレー係数 $G i$ は次式で与えられる：

G^{i}(x,v):={\frac {1}{4}}g^{ij}(x,v)\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.

$T M ∖{0$ } 上のベクトル場 $H$ は $JH = V$ および $[V, H] = H$ を満たす。ここで $J, V$ は $T M ∖{0$ } の正準準同型（英語版）および正準ベクトル場である。したがって定義より $H$ は $M$ 上のスプレー（英語版）である。スプレー $H$ は垂直投影を介してファイバー束 $T M ∖{0} \to M$ に非線形接続を定義する。

v:T(\mathrm {T} M\setminus \{0\})\to T(\mathrm {T} M\setminus \{0\});\quad v:={\frac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.

リーマン多様体の場合と同様、Ehresmann曲率（英語版）と非線形共変微分に関して、一般的なスプレー構造 $(M, H)$ に対するヤコビ方程式のバージョン

D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}\left({\dot {\gamma }}(t),X(t)\right)=0

が存在する。

測地線の一意性と最小化の性質

Hopf-Rinowの定理（英語版）により、 $(M, F)$ 上には長さを最小化する曲線が (少なくとも十分に近い近傍で) 常に存在する。長さを最小化する曲線は正の値で再パラメータ化して測地線にすることが常にでき、どの測地線も $E [γ]$ に対してオイラー・ラグランジュ方程式を満たさなければならない。 $F 2$ の強い凸性を仮定すると、積分曲線の一意性により、任意の $(x, v) \in T M ∖{0}$ に対して $γ(0) = x$ および $γ'(0) = v$ を満たす最大の測地線 $γ$ が一意に存在する。

$F 2$ が強い凸性をもつなら、測地線 $γ: [0, b] \to M$ は、 $γ$ に沿って $γ(0)$ に共役する最初の点 $γ(s)$ まで、近くの曲線間で長さを最小化し、リーマン多様体の場合のように、 $t > s$ の場合、 $γ$ の近くに $γ(0)$ から $γ(t)$ までのより短い曲線が常に存在する。

脚注

^ Randers, G. (1941). “On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity”. Phys. Rev. 59 (2): 195–199. doi:10.1103/PhysRev.59.195. hdl:10338.dmlcz/134230.

参考文献

Antonelli, Peter L., ed. (2003), Handbook of Finsler geometry. Vol. 1, 2, Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1, MR2067663
Bao, David; Chern, Shiing-Shen; Shen, Zhongmin (2000). An introduction to Riemann–Finsler geometry. Graduate Texts in Mathematics. 200. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. MR1747675
Cartan, Élie (1933), “Sur les espaces de Finsler”, C. R. Acad. Sci. Paris 196: 582–586, Zbl 0006.22501
Chern, Shiing-Shen (1996), “Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction”, Notices of the American Mathematical Society 43 (9): 959–63, MR1400859
Finsler, Paul (1918), Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen, Dissertation, Göttingen, JFM 46.1131.02 (Reprinted by Birkhäuser (1951))
Rund, Hanno (1959). The differential geometry of Finsler spaces. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 101. Berlin–Göttingen–Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-51610-8. ISBN 978-3-642-51612-2. MR0105726
Shen, Zhongmin (2001). Lectures on Finsler geometry. Singapore: World Scientific. doi:10.1142/4619. ISBN 981-02-4531-9. MR1845637

外部リンク

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Finsler space, generalized”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/f040420.htm
The (New) Finsler Newsletter

[1] Randers, G. (1941). “On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity”. Phys. Rev. 59 (2): 195–199. doi:10.1103/PhysRev.59.195. hdl:10338.dmlcz/134230.

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