ノート:順序集合

「関連する概念とその間の関係」の節について

最大元、最小元についてですが、現在の記述ですと、集合

A={1,1,1,2,2,3,3}

について、最大元は、「Aの任意の元aについて、m >= aが成り立つ元m」、すなわち2つの3ということになるので、節冒頭の「高々一つ」という記述と矛盾すると思います。最小元についても同様です。

正しくは、それぞれ

最大元=任意の元aについて、m > aが成り立つ元m

最小元=任意の元aについて、m < aが成り立つ元m

ではありませんか?--Neo chemistry 2009年9月7日 (月) 00:45 (UTC)

通常の数学の枠組みでは、{1,1,1,2,2,3,3} は {1,2,3} と同一視されます。集合#集合の記述法をご参照ください。--はっく 2009年9月7日 (月) 16:02 (UTC)

改名提案趣旨

以下の理由より当該ページの名称を『半順序集合』に名称変更する事を提案する。

1. 順序集合という名称は全順序集合を指すことが一般的であるため。

--I.hidekazu（会話） 2013年4月22日 (月) 14:23 (UTC)

反対 「順序集合」が全順序集合を示すことが一般的であるとは思えません(そのような事例があればご提示をお願いします)．なお，数学辞典第四版(179 「順序」)では，任意の二元を比較可能な「順序集合」を「全順序集合」と呼ぶ旨記載されています．NGiraffe（会話） 2013年4月23日 (火) 14:41 (UTC)

中学校、高等学校教程において順序関係という場合、大小関係のことを指す。大小関係は整数の元の比較もしくは実数の元の比較を指す（複素数の場合は高校においてノルムをとって比較するので実数の場合に帰着する）。整数、実数は全順序集合であるので、高等学校教程を修了した者にとって順序集合は全順序集合を思い浮かべるのが一般的であると言える。

大学の初等的な教育課程までを「一般的」の範疇に組み入れた場合、線型代数・微積分（解析学）までを指すと考えられる。その範囲までの場合、半順序の代表例は位相空間論の位相順序（開集合系）となると思われるが、通常開集合系は結びについて完備な集合束として定義し、半順序関係については触れず、開集合系という名称である。

以上から一般的に「順序集合」という場合、整数環、実数体といった全順序集合を指すと言えると主張する。--I.hidekazu（会話） 2013年4月24日 (水) 11:32 (UTC)

意味不明です。概念の名称として何が一般的かということと、その概念の実例として一般の人が思い浮かべるのは何かというのには、一切関係がありません。その主張はすなわち「位相空間と言って一般の人が思い浮かべる実例のほとんどハウスドルフ空間だから、「位相空間」という記事は「ハウスドルフ空間」に改名すべきだ」「実数と言って一般の人が思い浮かべる実例のほとんどは代数的数だから、「実数」という記事は「代数的数」に改名すべきだ」というのと同じぐらい滑稽です。--126.58.203.88 2013年4月25日 (木) 13:36 (UTC)

逆のような気がします。I.hidekazu さんが言葉少ななので分かりにくいですが、どちらかと言えば「『ハウスドルフ空間』という記事名なのに、説明しているのは一般の『位相空間』の話だから『位相空間』に改名しよう」という主張に近いと理解しています。話をややこしくしているのは、「順序集合」「半順序集合」「全順序集合」の関係です。ここで議論している方はよく御存知とは思いますが、確認しておきますと

• 順序集合と半順序集合は同じ概念である
• 順序集合の特別な場合が全順序集合である
• 全順序とは限らないことを特に強調したいときには、半順序という

その上で I.hidekazu さんが主張しているのは、順序というと全順序を思い浮かべる初学者がいるので半順序に改名しよう、ということでしょう。--白駒（会話） 2013年4月25日 (木) 23:22 (UTC)

コメント

• 整数，実数の大小関係は単なる例であって，それに記事の名称がひきずられる必要はありません．むしろ素朴に「順序」と呼んでいた数の大小関係が，数学においては「全順序性という特別な性質を持つ『順序』の一例である」こと，つまり正しい理解を与えることが事典の意義ではないでしょうか．
• 「高等学校教程を修了した者にとって順序集合は全順序集合を思い浮かべるのが一般的であると言える。」とは全く思えません．根拠となる文献や資料をご提示ください．そもそも高校数学で「順序集合」という用語は扱われるのでしょうか？

実際のところ，本記事の名称を「半順序集合」に変更すること自体には強く反対しません(既に「半順序集合」がリダイレクトページとして存在している状況で，改名が適切な手続きかどうかは判りませんが)．しかし，もしも「順序集合」という名称で全順序集合に関する記事を立項されることを考えておられるならば，これには反対の意を表明します．

ちなみに，純粋な興味として伺いたいのですが，「（複素数の場合は高校においてノルムをとって比較するので実数の場合に帰着する）」は本当ですか？NGiraffe（会話） 2013年4月25日 (木) 14:47 (UTC)

反対 I.hidekazu さんの構想としては、半順序集合と（全）順序集合の2つに記事を分けようとなさっているとお見受けしました。しかし、半順序集合に「任意の2元が比較可能」という一条件を付けただけのものが全順序集合ですから、分ける意味がどれほどあるのか疑問です。分けた場合に、全順序の方はほとんど内容のないものになるのではないでしょうか。単に順序と言った場合、半順序を念頭におく場合と全順序を念頭におく場合がありますから、順序集合で両方について記述するのが自然だろうと思います。なお、I.hidekazu さんにはWikipedia:同じ記事への連続投稿を減らすを御覧頂きたいです。編集回数が多すぎ、要約欄に記載もないため、編集の意図が分かりにくいです。必ずしも良い方向へ向かっているとは限らないようにも感じています。--白駒（会話） 2013年4月25日 (木) 21:45 (UTC)

-「順序集合 X について以下がなりたつ・・・」という言明があった場合、専門的な数学課程を出ていないものであれば、X の元はすべて比較可能であると思い込み、簡単な概念であるため順序集合という語句について調べないという事態を避けたい、という主旨です。順序集合という文言で半順序集合か全順序集合か指すものが異なることが想定されるので比較不可能な元があり得るということを強調するためには半順序という名称を用いるのが誤解がないです。なお、全順序集合を独立したページにする必要があるとは思いません。--I.hidekazu（会話） 2013年4月26日 (金) 13:13 (UTC)

拘ってすみませんが，「順序」という言葉で「集合の要素の比較」を連想することは一般的なんでしょうか．私が二項関係を学ぶ前は，「順序」は物事の並びを表す言葉と考えており，列 (数学)に近いイメージを持っていました．よって「順序集合」も(当時の)私の感覚では単に「列の集合」であり，列同士の比較，列の構成要素どうしの比較への連想は起こりません．少しネットで検索してみたところ，やはり物事の並びという意味で「順序」を用いている場合が多数を占めており，比較の意味で「順序」を用いている場合でも，それは専門家向けの記述であるか順序関係の定義が記載されているかのどちらかでした．議論の本筋から離れたことかもしれず，無理にご意見を求めるものではありませんが，私の認識が間違っていれば改めたいと思います．NGiraffe（会話） 2013年4月27日 (土) 02:38 (UTC)

順序集合の素朴な教え方は関係 ≦ が定義されている集合で、補足的に ≦ は順序関係と呼ぶという形になると思います。つまり「順序」という文言ではなく記号的に「≦」が定義された集合であると導入して、そののち順序関係とはという話につなぐという形ではないと口頭では説明しづらいはずです。記号的に「≦」を導入すると「≦」の代表例は数の比較になるので、順序集合は全順序集合だと暗黙に普通思うはずです。少なくともいろんな人に紛らわしいというクレームがもしついたときに弁解する自信はないので半順序という名称にしたいです。--I.hidekazu（会話） 2013年4月27日 (土) 09:53 (UTC)

数学或いは教育のコミュニティでI.hidekazuさんの御懸念が議論されていたり，御主張を補足する公的な調査資料や書籍がある，という状況ではないのですね？上で書かれているのはI.hidekazuさんの推測にしか読めず，受け入れられるものではありません．NGiraffe（会話） 2013年4月28日 (日) 03:03 (UTC)

上記は、一般的に順序集合は全順序集合を指すので順序集合という名称は紛らわしいという主張でした。

数学コミュニティでということでしたら、代数系の大元の構造である束論の世界では、半順序集合の任意の２元が最小上界と最大下界を持つ代数を束（lattice）と呼び、半順序集合（partially ordered set）の名称を用います。なぜかというと束論の世界には決定的な参照文献としてG.Birkhoff の Lattice Theory という本がありそこで用いられているからです。なお、前出の岩波の数学辞典は確か束論に関する記述が他にくらべて非常に少なく、束論に明るくないという印象を持っています。--I.hidekazu（会話） 2013年4月28日 (日) 10:00 (UTC)

半順序集合に改名を行う合意形成ができたと考える。特に反論がなければ一両日中に改名を行う。--I.hidekazu（会話） 2013年5月3日 (金) 13:09 (UTC)

白駒さんの明確な反対，私の(消極的な)反対しかない現状において，改名への合意形成がなされたとはいえないでしょう．NGiraffe（会話） 2013年5月4日 (土) 01:29 (UTC)

白駒氏の反対するのは半順序集合と全順序集合を分割して記載することです。自分としてはわざわざ全順序集合をページとして立ち上げる意味はなく、立ち上げるつもりもない旨述べたため、反対となる理由は消失したと考えます。別問題として投稿回数が多いというものについては編集内容の要約を記載することとしました。

ところでNGiraffe氏の消極的な反対とはなんですか？--I.hidekazu（会話） 2013年5月4日 (土) 22:49 (UTC)

I.hidekazuさんが「反対となる理由は消失した」と考えているだけでは「合意」には到達しません．第一，白駒さんは「単に順序と言った場合、半順序を念頭におく場合と全順序を念頭におく場合がありますから、順序集合で両方について記述するのが自然だろうと思います。」と書かれており，限定的な名称である半順序集合への改名そのものに反対されています．

「消極的な反対」は，現在の記事名が適切なので改名には反対するが，「半順序集合」という記事名が間違いとは思わない，くらいの意味です．気になるようでしたら「NGiraffe は改名に反対している」と考えて頂いてかまいません．NGiraffe（会話） 2013年5月5日 (日) 16:59 (UTC)

自分としては『順序集合』という名称が全順序集合を指しているのか半順序集合を指しているのか紛らわしいため改名したいという趣旨です。限定的な名称への改名が問題という事であれば、例えば『順序関係』や『順序』などの名称で、半順序、全順序について記載を行うという形態であれば認容可能ですか？--I.hidekazu（会話） 2013年5月6日 (月) 00:02 (UTC)

反対 将来同じ問題が発生する(「『順序関係』では半順序か全順序か紛らわしい」という理由で改名が提案される)懸念が捨てきれず，根本的な解決にならないと思いますので，ご提案には反対します．NGiraffe（会話） 2013年5月6日 (月) 02:14 (UTC)

順序集合という名称で問題だと主張しているところはですね、すべての元について比較可能かどうか暗黙に主張していると取られるかどうかという点なんです。順序関係は反射律、推移律、反対称律を満たす関係のことで、台集合については言及していないわけです。台集合の任意の元に対して順序関係で比較可能であると限らないものが半順序集合、かならず順序関係で比較可能であるものが全順序集合であるわけです。つまり、順序関係としておけば、１.すべての元に対して比較可能である全順序集合であると誤解される可能性がなくなり、２.なおかつ、半順序集合と全順序集合を記載しても記事の名称とずれがない訳です。

順序関係という用語はありますが、半順序関係とか全順序関係というのは用語としてないわけなんです。つまり、後々改名提案がされるリスクはないと考えて差し支えない訳です。以上の理由を総合的に勘案してどうですかね？再考いただけないものでしょうか？--I.hidekazu（会話） 2013年5月6日 (月) 12:48 (UTC)

反対 「順序関係」だけでどれくらい記事が書けますか? 「上界」「上限」などの基本的概念ですら台集合を考えなければ(つまり順序集合として考えなければ)定義できませんよ。つまり、現在の記事の内容を継承する限り、「順序関係」への改名も認められません。

また、上のI.hidekazuさんの発言

自分としては『順序集合』という名称が全順序集合を指しているのか半順序集合を指しているのか紛らわしいため改名したいという趣旨です。

ですが、要するにこれはI.hidekazuさんの主観に過ぎません。あるいは、もう少し好意的にとっても、先にも書いたようにせいぜい「数学科以外の大学理工系で学んだ人の感覚」に過ぎません。そんな感覚での改名など断じて認められるものではありません。--Loasa（会話） 2013年5月6日 (月) 15:26 (UTC)

コメントI.hidekazuさんにお願いします．一度，時間をかけて複数の教科書や解説記事などを精査し，以下の二点についてどのように扱われているか知らせていただけないでしょうか．それを確認するまで議論は平行線なので，個別のコメントに反応することは控えます．しかし私は依然改名反対の立場にありますのでご注意のほど．

1. 二項関係を学ぶ以前の段階(大学教養の微積分と線型代数修了程度，と読み替えてもらっても構いません)で，「順序集合」「順序関係」が扱われているかどうか．「順序集合」という表記が問題だと考えておられるようですから，「実数の大小関係があるから順序集合を扱っているといえる」といった主張は的外れであることをあらかじめ注意しておきます．「順序集合」/「順序関係」の四文字が直接現れるかどうか調べた結果を教えてください．
2. 「順序集合」という用語が「すべての元について比較可能かどうか暗黙に主張していると取られる」という懸念を示しているかどうか．

私の認識では，順序集合/順序関係は十分に専門的な概念であり，そもそも理科系の人間でも「順序」という単語から「ものの比較を表す二項関係」をイメージする人は殆どいないと思っています．また，世にある殆どの教科書や初学者向け記事では，(半)順序の定義の直後に全順序ではない半順序の例をあげるなどして注意を喚起しています．I.hidekazuさんが仰るところの「紛らわしさ」は後まで残らないはずなのです．

勿論これは私見レベルの話です．世の中はそうでないと仰るならば是非上記でお願いした調査をもとにコメントしてください．NGiraffe（会話） 2013年5月6日 (月) 15:55 (UTC)

そうですね。正直このまま平行線をたどるのは本意ではないので取り下げます。いろいろ勉強になりました。--I.hidekazu（会話） 2013年5月7日 (火) 14:08 (UTC)

反対 明確に反対します。理由はI.hidekazuさんの提示する改名の理由に納得できるような根拠が見出せないためです。

I.hidekazuさんは、「順序集合という名称は全順序集合を指すことが一般的」という理由を挙げておられますが、I.hidekazuさんのコメントを見る限り、I.hidekazuさんの言う「一般的な認識」とは「数学科以外の大学理工系で学んだ人の認識」であるように思われます。しかしこの記事は数学の記事なのですから、そういう「一般」ではなく、「数学分野での一般的な認識」で考えるべきです。

というと今度は、Birkhoff の Lattice Theory を持ち出してきて「束論の世界では『半順序集合』を使う」などと言ってますが、束は順序集合の一種ではあってもすべての順序集合を代表するものではありません。すなわち、束論の世界で「半順序集合が普通」だったとしても、数学一般で「『半順序集合』を使うのが普通」、ということの証左にはなりません。

また、岩波の数学事典が束論に明るくない、などと言っていますが、仮にそれが事実だったとしても、前述と同じく束論の話を持って順序集合に関する意見を却下する理由にはなりません。--Loasa（会話） 2013年5月5日 (日) 02:54 (UTC)

非常に専門的な用語ならともかく、順序をもつ集合という基本的な概念の認識で「数学科以外の大学理工系で学んだ人の認識」を外すのはおかしいですよ。数学の記事は別に数学科の人だけが見るわけではないです。

半順序集合を用いる数学の重要な用途は極限概念の記述だと認識しています。極限操作に関する理論の用語（最小上界、上連続、完備性など）は束論の世界にあります。したがって、束論の用語の使われ方が数学における用語の使い方を代表するものだと考えてもおかしくないと考えます。--I.hidekazu（会話） 2013年5月5日 (日) 07:49 (UTC)

鎖

全順序のことを鎖と呼ぶのは一般的なんですか？手元の本では部分集合で全順序になっているのを鎖と呼んでいるんですが。 --Kik（会話） 2013年12月21日 (土) 18:49 (UTC)

私の知る限りでは、chainを部分集合に限定して使う用法と、全順序集合及び全順序部分集合両方に使う場合とがあると思います。但し全順序集合がより一般的な用法だと思われるのでそちらを小節のタイトルにするのが妥当だと考えます。 そもそも記事の中でも「全順序」または「線型順序」が主に使われているようなのでそれがいいかと(分野によっては全順序を単に直線(線)(line)ということもあります)。Hymath（会話） 2013年12月21日 (土) 23:23 (UTC)

よく見たら、英語版にchainは色々あるって書いてありました。最初に乗せるような用語じゃないっぽいので直しときます --Kik（会話） 2013年12月22日 (日) 04:27 (UTC)

半順序？という訳語に関する不整合性について、

情報伝達の発達あるいは圏論の発達により、数学が広範にかつ、異分野間で流布されており、英語、日本語の資料が大量に溢れており、wikipedia として、国際的な整合性を保った数学用語の使用を推し量るべきであるという理念の下において、半順序という訳語に関して、甚だひどい、翻訳が定着してしまっていることは、大いに誤解を招く恐れがあります。 partially ordered は、部分的に順序構造が適用されている、という意味であり、直訳すると、「部分的順序が付与された」となり、「全順序」と対をなす正しい解釈と考えられます。 「順序関係」のような「関係」はすべて「集合論」で記述されており、それが故、この対比は甚だ重要であると考えられます。 「半」という言葉は、「半ば」という意味であり、「関係」つまり「集合論」において、全く違う意味あいとなると大変危惧しております。 --以上の署名のないコメントは、221.190.232.151（会話・投稿記録）さんが 2016年1月22日 (金) 19:19 (JST) に投稿したものです（新規作成 (利用者名) （会話）による付記）。

WP:NORをお読みください．新規作成 (利用者名) （会話） 2016年1月22日 (金) 10:27 (UTC)

明白な誤訳に関しては、この上ではありません。--以上の署名のないコメントは、221.190.232.151（会話）さんが 2016年1月22日 (金) 10:39 (UTC) に投稿したものです（白駒（会話）による付記）。

「明確な誤訳」という主張には首を傾げざるを得ません。有理数でなく有比数が正しいとか、野球でなく塁球が正しいとか主張しているのと同レベルに聞こえます。実際に普及している用語を差し置いて、「明確に区別する必要性が出てきた」などと主張するのは、Wikipedia の方針に反します。--白駒（会話） 2016年1月22日 (金) 10:51 (UTC)

それは閉じた環境下において、数学者の地位が確立されている時代において、の話です。 現代は必ずしもそうではなく、partially の翻訳は「部分的に」が正しいと言えます。--以上の署名のないコメントは、221.190.232.151（会話）さんが 2016年1月22日 (金) 10:56 (UTC) に投稿したものです（白駒（会話）による付記）。

言いたいことはいろいろありますが、とりあえずは「partially ordered の訳語として半順序は誤りで、部分順序が正しい」などと主張している文献をいくつか挙げて頂けますか。もしそういうものがなく、貴方個人の主張だとすれば、Wikipedia:独自研究は載せないにより、Wikipedia に掲載することはできません。--白駒（会話） 2016年1月22日 (金) 11:52 (UTC)

先に述べた通り、明らかな誤訳であることから、この上ではありません。 また、言いたいことがあるならばそれを述べずして、結論を出そうとするのは、策略をなす構えであり、とても建設的な意見でありません。 主張があるのならば、しっかりとここで述べてください。

私の主張は「研究」でなく「翻訳」に該当します。——以上の署名の無いコメントは、221.190.232.151（ノート/Whois IPv4 ・ IPv6）さんが 2016年1月22日 (金) 12:27(UTC) に投稿したものです（Senatsuki（会話）による付記）。

情報源がない、ということであれば、Wikipedia で記載すべきではないということで、この話は終わりです。他のウィキペディアンの方々にもそれが明らかになったでしょうから、今後の対処は第三者にお任せします。IPさんは、Wikipedia でいろいろな編集をする前に、Wikipedia:プロジェクト関連文書からたどれる各種文書をお読みください。せめて、Wikipedia:独自研究は載せないの冒頭だけでも、少し落ち着いて読んでみてください。--白駒（会話） 2016年1月22日 (金) 12:57 (UTC)

主張内容に変化がなく、反論できていません。 「半順序」を主張するのであれば、きちんと数学的内容に基づき反論することが賢明かと思われます。——以上の署名の無いコメントは、221.190.232.151（ノート/Whois IPv4 ・ IPv6）さんが 2016年1月22日 (金) 13:03(UTC) に投稿したものです（Senatsuki（会話）による付記）。

• IP氏におかれましては、「半順序」が誤訳だから「部分順序」と呼ぶべきだ、という主張をなさりたいのならご自分のブログなりウェブサイトなりでお願いいたします。あるいはもっと積極的に数学関係の学会で主張されてもよいでしょうし、IP氏が大学生向けの教科書なり参考書なりを書く立場の方であれば著書を通じて主張されてもよいでしょう。その結果として「部分順序」という言葉が数学用語として一般的に使われるようになれば、Wikipediaにおいても「部分順序」という言葉を採用してもよいでしょう。しかし現在は「部分順序」という用語はあなたが主張しているに過ぎません。それが正しい訳語であったとしても、世の中に用語として流通していない以上は、あなたの「独自研究」に過ぎないのです。

もう一度いいます。Wikipediaはあなたの主張を演説する場ではないし、「半順序」があなたの主張するように誤訳であろうと、あるいは正しい訳であろうと関係ありません。Wikipediaは「正しい物事を啓蒙する立場」ではありません。「世の中の後追い、追認する立場」なのです。ある用語が一般的に流通しているのなら、それが誤訳であってもWikipediaはそれに従うべきなのです。

なお、「wikipedia として、国際的な整合性を保った数学用語の使用を推し量るべきであるという理念」これもまた、あなたの勝手な「理念」に過ぎません。そういう理念を主張したいのなら、まずプロジェクト:数学あたりで提案し、少なくとも数学関連の編集における合意事項としてまとめるくらいの努力はしてください。--Loasa（会話） 2016年1月22日 (金) 13:17 (UTC)

wikipedia 財団は国際的機関であり、これに追従することは、必須のことと考えられます。数学的に整合性を持たない用語が、ある一定範囲で流布してしまっていることへの危機感から生まれた主張です。 「半順序」ではなく「部分順序」ではないかという主張は多くの初学者が口にする単語です。 さらに初学者は日本語の文献をもはや使用的価値が乏しいものと誤解してしまう危険性さえあります。 公用語が英語であり、英語を持って世界で議論されている、 あるいは、インターネットの普及により、日本中の学生が英語文献を読むことが可能である以上、 整合性を保たない「明らかな誤訳」は一部の数学者による怠慢であり、 これこそが独自研究にあたると考えられます。 「半順序」は文科省発行の数学用語対訳一覧に記載されることもなく、 少し言い方が極端ですが、独自研究であると言えなくもありません。

ですので、数学的主張による「半順序」が正しいという主張を私は期待しております。——以上の署名の無いコメントは、221.190.232.151（ノート/Whois IPv4 ・ IPv6）さんが 2016年1月22日 (金) 13:40(UTC) に投稿したものです（Senatsuki（会話）による付記）。

• とりあえず一つだけ。あなたの発言「「半順序」は文科省発行の数学用語対訳一覧に記載されることもなく」に対して。オンライン学術用語集で、「半順序」または「partial order」を検索してください。文部科学省発行の学術用語集数学編には「半順序←→partial order」の対応が記載されていることがわかると思います。--Loasa（会話） 2016年1月22日 (金) 14:00 (UTC)

そもそも英語と日本語がIP氏の思っているように対応している必要が全くないので誤訳云々は的外れな主張です．ちなみにドイツ語では半順序に対応する Halbordnung という単語があります．新規作成 (利用者名) （会話） 2016年1月22日 (金) 14:05 (UTC)

ドイツ語は国際標準ではありません。世界標準である言語は英語であり、それに準ずる翻訳に徹することが国際的な使命であり、国際社会における大前提です。 また、文科省発行の数学用語対訳は義務教育であるというレベルまで昇華されているということにおいて非常に意味があります。 英語と日本語が対応している必要が全くないというのは新規作成さんの個人的思想になります。——以上の署名の無いコメントは、221.190.232.151（ノート/Whois IPv4 ・ IPv6）さんが 2016年1月22日 (金) 14:20 に投稿したものです（Senatsuki（会話）による付記）。

第三者より「検証可能かどうか」など再三にわたって指摘されていると考えられるのでなるべく簡潔に述べるが、日本語版ウィキペディアの特性上、「日本語としてそれを指す事象としてどのような用語が最も使われているのか、そしてそれが検証可能かどうか」が重要となる。そういう意味では「partially ordered」として「半順序」が用語として使われているということについては、英辞郎やリーダーズ英和辞典第三版でも(表記の若干のブレはあるものの)掲載されていることを確認したことから、検証可能であるといえる。ちなみに「世界標準である言語は・・・」という件は中立的な観点に抵触する可能性があるので注意されたし。第三者により指摘されながらも、これ以上持論を押し通そうとするのであればいつまでも「納得」しないコミュニティーを消耗させる利用者として投稿ブロックの対象になることもあるのでご注意願う。--Senatsuki（会話） 2016年1月22日 (金) 16:04 (UTC)

論文発表、並びにプログラミング等英語が世界標準であることは周知自明の事実です。反論材料になりません。——以上の署名の無いコメントは、221.190.232.151（ノート/Whois IPv4 ・ IPv6）さんが 2016年1月23日 (土) 03:39(UTC) に投稿したものです（Senatsuki（会話）による付記）。

ざっと読み返しましたが、反論をすべきはあなたであって我々ではないように見受けられます。あなたは上で「私の主張は翻訳であって研究ではない」などと仰られていますが、Wikipediaでいう「独自研究」とは「未発表の事実、データ、概念、理論、主張、アイデア、または発表された情報に対して特定の立場から加えられる未発表の分析やまとめ、解釈など」とされており、あなたの言う「主張」もそこに含まれています。あなたはまずこの点に反論を加えなければなりません。そしてそのためには方針を熟読して「独自研究」の意味を正しく理解する必要もあるでしょう。

また、「明らかな誤訳」とか「自明」というような主観的な言葉を多用されていますが、「明らかだから」が何かの反論になるとお考えなら、こちらも「明らかに誤訳ではない」と言えば良いことになってしまいますよ。個人的思想ではなく客観的な資料に基づいた議論を行って頂けるようお願いいたします。--AT（会話） 2016年1月24日 (日) 02:13 (UTC)

上に説明しました通り、「明らかな誤訳でないこと」はございません。partially orderd から派生する様々な概念につきまして、

もはや「反順序」でなく「部分順序」が使われていることは周知の事実です。残念ですが、明らかな誤訳が浸透してしまっているという部類に入ります。--221.190.232.151 2016年1月24日 (日) 03:30 (UTC)

（インデント修正しました）「部分順序という訳が存在すること」については「周知の事実」と言えるかもしれませんが、「部分順序という訳が国際的標準であること」や「半順序が誤訳であること」に関しては（実際に異論も出ている以上）それらを客観的に証明する文献が必要です。あなたが周知の事実だと思っているというだけでは（そう思っていない人達もあなたと対等の立場でWikipediaに参加している以上）不十分なわけです。--AT（会話） 2016年1月24日 (日) 04:10 (UTC)

その件に関しては、先述しております。全ての英和辞典において、partial を「半ば」と訳したものはなく、半と部分は明確に別途定義されております。--221.190.232.151 2016年1月24日 (日) 04:59 (UTC)

なるほど、ただそれはWikipedia上においては少なくとも発表済みの情報の合成と呼ばれる禁忌事項に該当すると思われます。「partialを半と訳すことはない」と「partial orderは半順序と訳される」の両者に客観的な資料があったとしても、直ちに「ゆえに半順序は誤訳である」の論拠が要らなくなるわけではないのです（「そもそもそんな結論は導かれない」という論点は一旦置いておくとしても、です）。

さらに言えば、partial を「半」と訳している例は実際に沢山存在します（「partial agonist：半アゴニスト」「partial disconnection：半断線」「partial paralysis：半身不随」など、検索すれば確かめて頂けると思います）。--AT（会話） 2016年1月24日 (日) 05:20 (UTC)

私の主張の全文書を正しくお読みください。--221.190.232.151 2016年1月25日 (月) 10:25 (UTC)

あなたの主張（「全ての英和辞典において、partial を「半ば」と訳したものはない」）が完全な錯誤と判明している以上、読み返す必要はもはや全くないでしょう。明確な反論がないのであれば、残念ながら議論は終了したとするほかありません。--AT（会話） 2016年1月25日 (月) 12:03 (UTC)

日本語を正しく読んでください。半身不随など、数学以外の分野において、私はなにも言及しておりません。あえて言いますが、数学が言語よりも厳密なものだから、英語と数学から純粋の融合する分野において、純粋に古典的意味をさらい出しているのです。さらに、言いますと、私の主張はもはや半分通っているので、あなたの意見は蛇足だということです。ご理解ください。--以上の署名のないコメントは、221.190.232.151（会話）さんが 2016年1月25日 (月) 15:35 (UTC) に投稿したものです（白駒（会話） 2016年1月25日 (月) 21:20 (UTC)による付記）。

英和辞典の話をしていたのに今度は「数学に限定した話だ」と仰るわけですか。しかしそこまで限定するともはや誤訳であるという根拠にはならなくなります（せいぜい他の訳語との整合性の問題にしかなりません）し、あなたの発言のいくつかも意味不明なものになります。他にも情報の合成や出典の欠如など多くの問題点が指摘できますが、白駒氏の仰る通り既に真面目に議論をする段階ではないようですので、以降何かあればコメント依頼の方で発言することにします。--AT（会話） 2016年1月26日 (火) 00:20 (UTC)

私の意見が意味不明だと仰るまえに、あなたの意見が意味不明でないことを証明してください。--221.190.232.151 2016年1月26日 (火) 05:10 (UTC)

辛抱強く対話頂いた皆様には恐縮ですが、これ以上の対話は皆様の時間を浪費するばかりと思います。記事「順序集合」の改善に資する話ではないことは明らかですので、今後はWikipedia:コメント依頼/221.190.232.151へご意見を頂く方がよいと思います。--白駒（会話） 2016年1月25日 (月) 21:20 (UTC)

ご苦労様です。あるいは、プライドやレッテルその他保守的意見は剥がれるものです。ご理解を。 --221.190.232.151 2016年1月26日 (火) 04:51 (UTC)

白駒氏は最低限のマナーとして自身で交わしここに明言した取り決めを遵守してください。--221.190.232.151 2016年1月26日 (火) 05:10 (UTC)

記述

非反射性：¬(a < a); 非対称性：a < b ならば ¬(b < a); （非反射性と推移性から従う） 推移性：a < b かつ b < c ならば a < c 以上では広義の順序を定義してから狭義の順序を定義したが、逆に上の三性質（非対称性は非反射性と推移性より得られるので条件としては不要）を満たすものを狭義の順序として定義し

この辺、 推移性のもとで非反射性と非対称性は同値なので、どちらか一方の条件だけでよい というような記述にした方が分かりやすいんじゃあねえか？y