ノート:曲面

可展面

可展面 (developable surface) は内在的には「曲がっていない」曲面である。例として柱面・錐面・トーラスがあげられる。

• トーラスは、可展面ではないのでは？

--61.192.152.43履歴より追加--Makotoy 2006年4月6日 (木) 23:39 (UTC)

可展面かどうかということは、実は曲面上に計量（線の長さ）とその曲率（各点における曲面の「曲がりぐあい」）という概念を導入して初めて問題になることです。矢印の張り合わせの絵にもあるようにトーラスはユークリッド平面にxy座標を入れて、座標が整数値だけ歯科違わない点たちを同一視することで得られます。別の言い方では、xy方向ともに単位長さの整数倍分だけの平行移動でうつりあう点を同一視する、ともいえます。ここで、ユークリッド平面には（普通の意味での）点間の距離から計量が定まって、その曲率は当然期待されるように0になります。平行移動は計量をうまく保っているので、平行移動で「割った」トーラスにも曲率が0であるような計量が導入できます。トーラスの点zが与えられたとき、zを通るまっすぐな線というのは次のようにしてみつけられます：辺を張り合わせる前の正方形にzに対応する点wをみつける->wを通ってx軸に平行な線lを正方形上に引く->このまっすぐな線lの二つの端点は正方形の辺の針泡で一つの点になる->したがってlはトーラス上で曲線l'を定めている->このl'はzを通る「まっすぐな線」

本文の方では計量や曲率という言葉を言わずにいきなり「曲がっていない」と言ってしまって、ミスリーディングだったかもしれません（実は「曲がっていない」トーラスを3次元空間の中に描くことはできません）。どう書こうかと迷ったのですが、とりあえず「内在的な」という言葉を足した以外は訳出元の英語版の記事の説明に準拠しました。リーマン計量や（リーマン多様体の）曲率についての記事がない現状ではあまり技術的なことを書いてもしょうがないと思ったからですが、もっといい説明があったらぜひ加筆・修正おねがいします。英語版のen:Developable_surfaceもご覧ください。--Makotoy 2006年4月6日 (木) 23:39 (UTC)

英語版en:Developable_surfaceでは "The torus has a metric under which it is developable, but such a torus does not embed into 3D space. It can be realized in four dimensions." とありますので、「4次元空間における」と但し書きをつけました。すべてを挙げているわけではないので、他の次元の例を示さずとも問題はなかろうかと思います。曲率の項目も充実させたいですね。--Hew 2006年9月16日 (土) 00:53 (UTC)

コメントしたものです。IDとりました。ibm_111と申します。よろしくお願いします。 全体的に位相幾何学的な曲面観なわけですね。 本文冒頭も、「数学（位相幾何学）における曲面（きょくめん、surface）とは...」も始まるわけですから。 位相幾何はよく知らないのですが、可展面、線織面、極小曲面なんてのは、微分幾何のほうの概念だと思っていますが... というか、位相幾何のほうにも、計量、曲率といった概念があるのですか？ --ibm_111 2006年4月7日 (金) 19:12

「位相幾何」は（訳出元にあった）"topology"の訳語として使っています。微分位相幾何 (differential topology) なら位相幾何の下位カテゴリーになりますよね。いずれにせよ僕は計量・曲率について一つの定義しか知らないし、たがいに相容れない複数の流儀があると聞いたこともありません。（この文脈で）微分位相幾何と微分幾何 (differential geometry) を分けて考えることにどれだけの意義があるのか疑問ですが、geometryもはっきりと入れた方がいいとお考えでしたら僕としては異存はないのでそのように変えてください。--Makotoy 2006年4月7日 (金) 11:41 (UTC)