ノート:ラジアン

近似値

ここに記されていた近似値については、ログを参照してください。記事のノートは記事の内容について議論する場であり、いくら関係があるからとはいえ膨大な近似値を貼り付けられては邪魔です。こういったリンクの活用も検討してください。--白駒 2011年9月2日 (金) 12:48 (UTC)

外部リンク修正

編集者の皆さんこんにちは、

「ラジアン」上の1個の外部リンクを修正しました。今回の編集の確認にご協力お願いします。もし何か疑問点がある場合、もしくはリンクや記事をボットの処理対象から外す必要がある場合は、こちらのFAQをご覧ください。以下の通り編集しました。

• http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter2/2-2/table3.htmlにアーカイブ（https://web.archive.org/web/20070618123613/http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter2/2-2/table3.html）を追加

編集の確認が終わりましたら、下記のテンプレートの指示にしたがってURLの問題を修正してください。

ありがとうございました。—InternetArchiveBot (バグを報告する) 2017年9月21日 (木) 01:25 (UTC)

ラジアンを使う理由

三角関数でラジアンを使う理由は、ただ「自然」であって、正ｎ角形の外接円の半径をR_n, また内接円の半径をr_nとすると $\lim _{n\to \infty }\left\{\left(R_{n}\sin {\frac {\frac {360^{\circ }}{n}}{2}}\times R_{n}\operatorname {cos} {\frac {\frac {360^{\circ }}{n}}{2}}\right)\times n\right\}=\lim _{n\to \infty }\pi R_{n}^{2}$ および $\lim _{n\to \infty }\left\{\left(r_{n}^{2}\tan {\frac {\frac {360^{\circ }}{n}}{2}}\right)\times n\right\}=\lim _{n\to \infty }\pi R_{n}^{2}$が成り立つことにさえあります。 pythagorean standard pitch a432（会話） 2018年3月28日 (水) 13:47 (UTC)

「三角関数でラジアンを使う理由が、ただ「自然」だからである。」というのは理由になっていません。三角関数の微分が簡潔になるからラジアンを用いるのです。その根源的理由は、sin X/Xの極限が 1 になるからです。この本質を理由として挙げるべきです。--Awaniko（会話） 2018年5月19日 (土) 12:17 (UTC)

だからそれは$\forall x_{v}\in \mathbb {Z}$に対して$\left.{\frac {d}{dx}}\sin {360x^{\circ }}\right|_{x=x_{v}}=2\pi \,$が成り立つからですよ。 pythagorean standard pitch a432（会話） 2018年5月21日 (水) 1:50 (UTC)

上記の式が成り立つとなぜ「自然」なのですか。そして、何よりかにより、「上記の式が成り立つと自然である」ことの出典を示していただかなければ、wikiに記述することはできません。確かな出典をお示し下さい。--Awaniko（会話） 2018年5月28日 (月) 14:00 (UTC)

本文の当該箇所に、とりあえず、要出典ラベルを付しました。　--Awaniko（会話） 2018年6月1日 (金) 11:23 (UTC)

“ところが度数法を用いると、微分をする度に定数倍のズレが生じ、例えば

${\frac {d}{dx}}\sin x^{\circ }={\frac {\pi }{180}}\cos x^{\circ }$

となる。”というのも、$\forall x_{0}\in \mathbb {Z} ,\left.{\frac {d}{dx}}\sin \left({360x^{\circ }}\right)\right|_{x=x_{0}}=2\pi \,$が成り立つ事にあります!

菜ノ花 聡一郎さんへ：　あなたが上記で主張されていることは、あなたの独自研究です。

同じことを申し上げます。「（角度にラジアンを使う）理由は、それが「自然」だからであり、」の確かな出典を示して下さい。--Awaniko（会話） 2018年6月10日 (日) 07:04 (UTC)

横からすみません．あなた自身が答えを書いてるじゃないですか．三角関数の微分が簡潔になるetc. それを（かぎかっこつきの）「自然」という単語で表してるんですよ．新規作成 (利用者名) （会話） 2018年6月10日 (日) 07:11 (UTC)

問題は、「三角関数の微分が簡潔になる」ことが「自然」であるという表現です。このような表現を用いることは数学としてはないでしょう（などと言う私の感想は、それこそ出典が必要ですので、どうでもよいことですが）。この表現ぶりには、出典が必要です。それがカギ括弧付きであっても変わりません。--Awaniko（会話） 2018年6月10日 (日) 09:42 (UTC)

（菜ノ花聡一郎氏の妙な主張は脇においておいて）普通に言うと思います。私は違和感を感じません。ピンポイントにこの話で「自然」の語を使っている例を挙げろ、と言われたら面倒ですが。出典とはそういうものなのでしょうか、疑問です。--白駒（会話） 2018年6月10日 (日) 09:56 (UTC)

◆（追記）自然対数とかが参考になるかもしれません。--白駒（会話） 2018年6月10日 (日) 10:11 (UTC)

自然対数、自然数、友愛数などは（出典がある）確立された術語です。「自然」であるとの表現の可否の参考にはなりません。

「三角関数の微分が簡潔になる」の記述で十分であって、「それが自然である」というような主観的な評価を述べるべきではありません。もし述べるならば、確実な根拠・出典が必要です。（ついでながら　essential （仮訳：根源的、本質的）なら文献にあるのかもしれませんね。）

「出典が必要」の意味（私の解釈です）：Wikiの記述には原理的には全て根拠が必要です。しかし実際の記述にすべて出典が付いているのではないのが現実です。これは誰が読んでも全く常識的な記述には出典を付けることさえ意識しないからでしょう。要出典ラベルが付されるのは、執筆者以外の読者が疑問を呈した記述、というのが実際のところです。その記述に反対する・疑問がある・編集合戦が起こる、などの場合には、必ず確かな根拠・出典が必要だと考えます。 --Awaniko（会話） 2018年6月11日 (月) 04:50 (UTC)

この一般的な表現に対してあなたがそういう「感想」（妄想）を持った理由が，数学の素養が無いからなのか日本語力に問題があるからなのか分かりませんけれども，せめて「感想」であるという自覚があるのなら，無駄にコミュニティを疲弊させるような行為は慎んでいただきたいですね．出典は日本語の使い方に対してつけるものではないでしょう（それが主題なら別として）．新規作成 (利用者名) （会話） 2018年6月11日 (月) 08:55 (UTC)

◆（競合しましたがそのまま投稿します）少し状況をまとめてみます。当該記述を行ったのは、新規作成さんです。en:Radian#Advantages of measuring in radians にも同様の記述があります。Awaniko さんはおそらく数学が御専門ではなく、「このような表現を用いることは数学としてはないでしょう」という誤った認識で出典を求めました。◆「要出典ラベルが付されるのは、執筆者以外の読者が疑問を呈した記述、というのが実際のところ」とはそうかもしれません。本件の場合、Awaniko さんがノートで疑問を呈し、新規作成さんや私が「よくある表現だよ」と言って納得されるならば、それで終わりでしょう。◆似た案件で、ノート:円周率の無理性の証明#「強い」という表現についてを思い出します。この場合は、質問者に納得頂いたので事なきを得ました。Awaniko さんは、「自然」だというのは個人の主観と感じておられるようですが、私はそう思いません。自然対数と同様に、周辺の話が簡潔になったりうまく理論が構築される場合に「自然」と表現するので、それは主観で決まる事柄ではありません。◆本件で Awaniko さんに納得頂くためには何が必要なのでしょうか。「定義が自然」という表現をたくさん示せばよいのでしょうか（面倒だがおそらく可能）、それともピンポイントにこの話で「自然」という表現を用いている文献を示すことが必要なのでしょうか（皆無ではないと思うが、見付かる保証はない）。なお、私個人は出典が示されないとして当該記述が消されても別に困りません。他の表現で説明することはできるでしょう。◆あるいは、もう十分に説明したので、必ずしも完全に納得頂く必要もない、という考え方もありそうです。現状では、納得していないのは Awaniko さんのみです。専門家がよく使う表現を制限されるいわれはない、とも思います。--白駒（会話） 2018年6月11日 (月) 09:01 (UTC)

◆ハイラー、ワナー著、蟹江訳『解析教程』三角関数の項で、ラジアンについて「自然な単位」とあるのを確認しました。--白駒（会話） 2018年6月12日 (火) 05:19 (UTC)

ああ，あれ自分が書いたんですか，全く記憶にありませんでした(笑) 用例もありがとうございます．新規作成 (利用者名) （会話） 2018年6月13日 (水) 04:17 (UTC)

角度を表すのに半径と弧の長さの比の値（半径1の単位円における弧の長さ）で表すのが数学的に最も単純で自然であるのは出典を示すまでもなく自明なことだと思いますが。ラジアンは無次元量であることからも分かるように「余計なものが付いていない単位」なのです。無次元量#比率では「度数法による単位（度、グラードなど）は円周上の長さと円周との比率に定数をかけたものである。」とあり、ラジアンが数学的に自然な単位であることを暗に示しています。多くの公式が簡潔に書けるというのはこのラジアンの性質による副次的なものだと思います。--新幹線（会話） 2018年6月16日 (土) 14:00 (UTC)

私はラジアンも度も無次元だと思うのですが、これは感覚の違いでしょうか。そもそも角度を表すには円周の長さと弧の長さの比を使うのが最も自然です。それに2πを掛けるとか360を掛けるとかの違いがあるだけで、結局どちらも「円周上の長さと円周との比率に定数をかけたものである。」を満たす二次的なものです。なので、この方向からラジアンの自然さを導こうというのは無理があります。--Kik（会話） 2018年6月16日 (土) 16:07 (UTC)

ハイラー、ワナー著、蟹江訳『解析教程』三角関数の項、という出典があるのは喜ばしいことです。白駒さん、ありがとうございます。検証可能性のために、書誌情報とページ数、それから文脈が分かるような引用部分を示していただけませんか。もし分かるようでしたら、原著のタイトルや該当ページもご教示いただけると幸いです。　--Awaniko（会話） 2018年6月20日 (水) 07:13 (UTC)

新規作成さんの「出典は日本語の使い方に対してつけるものではないでしょう」に同意しますので、あまり詳しく答える必要は感じませんが、ネット上で見られるものとして これを示しておきます。--白駒（会話） 2018年6月20日 (水) 09:20 (UTC)

そもそも，量は単位と無関係に確立される概念であり，量の間の関係は，単位の選び方と無関係に成り立つべきものである。

角度がゼロの近傍での正弦関数の振舞いも，三角関数の微分公式も，国際量体系における角度である限りは，単位の選び方に依らずに成り立ちます。

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\qquad {\text{(ISQ)}}$

${\frac {d}{d\theta }}\sin \theta =\cos \theta \qquad {\text{(ISQ)}}$

国際量体系に限らない一般の量体系において，全周の角度を 360° として単位 degree を定めた場合

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}={\frac {\pi }{180^{\circ }}}$

${\frac {d}{d\theta }}\sin \theta ={\frac {\pi }{180^{\circ }}}\cos \theta$

と定数因子がかけられますが，国際量体系に限れば単位 degree に対して

${\frac {1}{\text{rad}}}={\frac {\pi }{180^{\circ }}}=1\qquad {\text{(ISQ)}}$

が成り立つことから，radian を角度の単位に用いなくともこの定数が 1 になるため、上に示したように種々の関係式が単純になります。

ここで $\theta =x\theta _{0}$ とした場合

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x\theta _{0})}{x}}=\theta _{0}\qquad {\text{(ISQ)}}$

${\frac {d}{dx}}\sin(x\theta _{0})=\theta _{0}\cos(x\theta _{0})\qquad {\text{(ISQ)}}$

となって，微分をする度に定数因子が生じますが，これは極限や微分を行う変数を変えたことによるチェインルールに起因しており，単位の選択とは別の問題のように思えます。

radian を使う理由は，単位の一貫性 ${\text{rad}}={\text{m}}/{\text{m}}=1$ に尽きるかと思います。-電工石火（会話） 2018年12月30日 (日) 08:44 (UTC)

• 『単位の一貫性』の一言では、『なぜ全周でもなく直径でもなく半径なの？』という疑問に答えられません。
• $\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}={\frac {\pi }{180}}\quad {\text{[1/deg]}}$ も正当な答ですよね？関係式が単純になったんじゃなくて式に単位が入り込んで複雑になったと言うべきです。
• 微分の方は${\frac {d}{d\theta }}$ の θ のスケールが問題です。1 degree 当たりではなく 1 radian 当たりの変化量としたから 1 が出てきたのですよね？結局は『ラジアンを採用した』という話ではないですか。
• 式の中で単位を解決するのは 60 [km/hr] * 5 [min] = 5 [km] くらい単純なものに限定するのが普通だと思います…

--Dummy index（会話） 2019年1月5日 (土) 06:45 (UTC)

『なぜ全周でもなく直径でもなく半径なの？』という疑問は，単位の定義 rad=m/m=1 ではなく，角度と弧長の関係 θ=l/r に対して為されるべきです。そしてこれは単位の選択には関係ありません。繰り返しますが，量は単位と無関係に確立される概念であり，量の間の関係は，単位の選び方と無関係に成り立つべきものです。

• (数式略)も正当な答ですよね？

単位を括弧で括って別で書く表記の意図が理解できません。自分が書いた

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}={\frac {\pi }{180^{\circ }}}$

という式と書き方を変えたのは，何かしら違うことを表現する式だと思って書いているのか，単に貴方と自分の趣味の違いなのか。貴方の頭の中でこの式に対する認識が判らないので，正当な関係式であるか判別できません。

• 関係式が単純になったんじゃなくて式に単位が入り込んで複雑になったと言うべきです。

radian を角度の単位に用いなくともこの定数が 1 になるため、上に示したように種々の関係式が単純になります。

ここの部分で言いたかったことは，種々の関係式が単純になるのは，SIの組立単位である radian を用いたからではなく，ISQにおける角度を用いたからであり，ISQの角度を用いる限りは，単位が radian であろうが，degree であろうが，turn であろうが関係なく成り立つということです。記事内の表現を流用した皮肉を書いたので，文脈が読み取り辛くなったのは悪かったと思います。

あと式に単位が入り込んでいるのが気持ち悪いのであれば全周の角度を θ_full として

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}={\frac {2\pi }{\theta _{\text{full}}}}$

でも良いですけど，この極限が1になるのはISQの角度を採用するときだというのは変わりませんね。

• 微分の方は d/dθ の θ のスケールが問題です。1 degree 当たりではなく 1 radian 当たりの変化量としたから 1 が出てきたのですよね？

ちょっと意味が解りません。微分って変化量が無限小の極限ですよね。1 degree 当たりでも 1 radian 当たりでもなく，(ほぼ) 0 degree 当たりや(ほぼ) 0 radian 当たりじゃないんですか？それと「1 が出てきた」の「1」が何処の「1」を指しているのかも判りません。

• 結局は『ラジアンを採用した』という話ではないですか。

radian がSIにおける単位であり，SIはISQに基づいているため，『radian を採用』した場合は，必ず『ISQを採用』していることになります。しかし逆は成り立ちませんから，『ISQを採用』したからといって『radian を採用』することにはなりません。数式が簡潔に書けるとして現状で列挙されているものは先に述べた通り，『ISQを採用』したからであって，『radian を採用』したからではありませんね。つまり『radian を使う理由』の説明になってない。

• 式の中で式の中で単位を解決するのは(後略)

数式が複雑だから量方程式が使えないとかはありません。（実用的ではないという意味での使えないということはありえますが，そーいう話ではないと思います。） -電工石火（会話） 2019年1月5日 (土) 09:34 (UTC)

すれ違いの原因は量概念を第一に考えるかどうかの差にありそうですね。取り急ぎ。

私は普段、量に関する式は『数に関する式＋単位の付加情報』として扱っています。もちろん量そのものへの四則演算の適用についての直観も持ち合わせてフル活用していますが、式変形の技術のベースになったのは数の取り扱いでした。1 [km] = 1000 [m] は、電工石火さんから見るとトートロジーかもしれませんが、私からすると単位の換算の計算なのです。

普通、数学で言う関数は、数から数への写像の事です。量から量への写像ではありません。sinをテーラー展開したときの3次の項、5次の項、…はどういう量なのでしょう？量だと言い張っても迂遠になるだけで正直メリットを感じられません。だから自分にとって三角関数は純粋に数の世界で（例えば複素数で）理解することこそが真理に至る道なのです。（sin 30° = 1/2 とかは普通に使ってしまいますが）三角関数が出てくる基本的な式にダイレクトに量概念を持ち込まれても困る、かえって使うときに面倒、というのが正直なところです。

--Dummy index（会話） 2019年1月5日 (土) 12:41 (UTC)

そうそう、記事の修正内容には文句ありません。なるほど、ISQにおける角度は定義から【一般人がなんとなくラジアンと呼んでしまっているもの】と同じナマの無次元量を持つということですね。--Dummy index（会話） 2019年1月5日 (土) 13:12 (UTC)

電気工学に関する記述について

電気工学では交流の計算などに便利であるため、弧度法が一般的となっている

先の通り量方程式に単位は関係ありません。値を入れた計算を行う場合に限って単位が影響します。出典として挙げられたページはISQの角度（に基づいた角速度）という量を用いているだけで，単位ラジアンを用いた計算を行っていませんので出典として不適当です。 交流の計算で角度の単位が影響するのは X=ωL と X=1/ωC の計算とかになるかと思います。

ただ個人的には実際に計算する場合は ω=2πf に置き換えるほうが一般的ではないかと思います。この場合，数学定数 2π は無次元量で単位なし，周波数 f の単位は Hz=cycle/sec（cycle=turn=2πrad）ですので，単位ラジアンを用いません。 -電工石火（会話） 2022年11月18日 (金) 23:15 (UTC)