ノート:ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

日本語化にあたり

en:Navier–Stokes existence and smoothness 6:00 12 Jan. 2014 UTC より日本語化しました．

現在、Mukhtarbay Otelbaevの論文を巡り、英語版の記事は投稿されたり削除されたりしていますが、上記の時間の英語版には、「本予想の強解を示した」とする論文を提出したとの記載がはいっています．作業の直前には、「予想の周期的な空間についての」という条件が追記されています．この半年の間に、複数の方が「証明した」とする記載がなされてきました．

『要出典』は、そのまま残しました．個人的には、なくてもよいのではという部分もありますが、最回登録ですので英語版の通りとしました．

英語版の元版には、linkのambiguityが残っている箇所や、spellミスもあります．日本語版に特有の注も必須と思われます．現在はロシア語のOtelbaevの論文を巡っての議論が重要と思いますので修正していません．

関連する箇所の修正を行います．--enyokoyama 2014年1月12日 (日) 08:08 (UTC)

Clay Instituteのhome pageにあったFeffermanさんのpdfの所在が移動しています．日本語版に限り、外部リンクの方を変更して、このpdfの所在をしめしました．リーマン予想やホッジ予想とことなり、日本語版のみにします．--enyokoyama 2014年1月12日 (日) 08:26 (UTC)

皆様．少しOtelbaevさんの論文を読みました．定式化は、本記事の中のもの（Clay InstituteのFeffermanさんの解説でもある）と一致しており、記号でいうと（C）周期的な境界条件のことについてのみ、強解の存在を証明したとの主張がなされています．（A）$\mathbb {R} ^{3}$ 全体のことに関しては記載が言及されていないようです．主要な結果は（論文の最後に英語での記載があるように）、定理１として

$f\in L_{2}(\Omega )$ の中に、条件(1.1)-(1.4)を満たす次を満たす強い解 $(u;p)$ が存在する．

$\parallel {\frac {\partial u}{\partial t}}\parallel +\parallel \Delta u\parallel +\parallel (u,\nabla )u\parallel +\parallel grad\ p\parallel \leq C(1+\parallel f\parallel +\parallel f\parallel ^{\ell })$

ここで、$\parallel \cdot \parallel$ は $f\in L_{2}(\Omega )$ でのノルムであり、$C>0$ と $\ell \geq 1$ は $f\in L_{2}(\Omega )$ には依存しない定数である．

というものです．

方法としては、1951年のE. Hopfによる不等式の見積もりのアイデアに端を発する方法を使っていると記載があります．（この方法は、NS方程式の研究者には、おそらく、良く知られている方法でもあるようです．）この論文は、

Hopf E. Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen. - Math. Nachr., 1951. V.4 P.213-231

です。

ところで、この記事をヘッドラインの中へ記載しましたが、英語版は日本語化した後に削除されました．日本語版は、今回作成しましたが、ヘッドラインはやはり問題があるかなあというのが個人的な意見です．ヘッドラインではなく、「部分的結果」というセクションがありますが、ここへ現在検証注として記載するのが妥当なところではないかと思います．もし、特に強い反対がなければそうしたいと思います．元の英文版から引きついでしまった小さな問題、リンク先の修正、リダイレクト先の修正、文献参照先の修正が必要です．そのときに修正するつもりです． --enyokoyama 2014年1月13日 (月) 13:28 (UTC)

当初より思っていたのですが、乱流の話題がないようです．この問題はNavier-Stokes方程式の解の存在と滑らかさの問題には、必須の問題ではないでしょうか．Clay研究所のFeffermanさんの文書（公式文書といってもよいと思うが、）には、粘性(viscosity) ν が式に入っています．しかし、Otelbaevさんの論文の問題の設定には、ν = 1 と定数になっています．当然、周期的な境界条件の ν = 1 の強い解の存在を証明したと主張したことは、新しい事実かもしれないのですが、Navier-Stokes方程式の解の存在と滑らかさの問題は、さらに深い問題と思います．--enyokoyama 2014年1月14日 (火) 10:57 (UTC)

Otelbaevさんの論文の位置として、ヘッドラインはやはり問題ありと思われますので、新しく｢解けたとの主張｣という章を作成して、そこへ記載を移動しました．英語版でも削除したり、記載したりが進んでいますが、"claimed solution"というパラグラフが新設されて、そこへの記載が妥当ではないかと思います．根拠、

１、私の個人的な考えかもしれませんが、Clay Instituteの公式なサイトにも"Mathematicians and physicists believe that an explanation for and the prediction of both the breeze and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. "とあるように、the breeze and the turblenceの問題の数学的な定式化が必要なのではないでしょうか．

２、少なくとも、Clay Instituteの公式サイトのFeffermanさんの文章中の（A)と（C)のうち、周期的な境界条件の場合しか扱っていない．

の２つのことより、新しい章を設けました．（他には、論文の冒頭の一番重要なところだけ、英語化されていますので、参考文献としています．）--enyokoyama 2014年1月24日 (金) 10:35 (UTC)

下記のサイトに、反例を含め、Otelbaevさんの論文への疑問が提出されています．

http://math.stackexchange.com/questions/634890/has-prof-otelbaev-shown-existence-of-strong-solutions-for-navier-stokes-equatio

http://dxdy.ru/topic80156-90.html (Russian)

修正も含めて検討されているようです．--enyokoyama 2014年1月29日 (水) 12:22 (UTC)

昨日は誤りが指摘されているとしましたが、Otelbaevさんの論文の話題は、本記事から削除することにします．--Enyokoyama（会話） 2014年2月10日 (月) 02:46 (UTC)