ノート:エルミート作用素

定義について

前版までの記事内容は根本的な誤りが多いので書き換えをしていますが、まだその途中であって、全面的な改稿ができていません。なので、今の状態の記事内容は誤った情報が混在しています。注意してください。

• 自己共役作用素の定義と称するものがここの記事に載っていますが、誤ったことが書かれています。ここに書かれているのは、対称作用素の定義です。もちろん、対称作用素と自己共役作用素は別物です。そもそも、自己共役作用素の定義には、まず共役作用素の定義が必要なのですが、これが書かれていないのです。(対称作用素の場合は、共役作用素なしで定義できる。)
• エルミート作用素と自己共役作用素は別々の項目を設けて説明すべきなのですが、前版までの誤りの結果、今の状態ではこれらを切り分けて記述することが不可能になってしまいました。それゆえ、当面はエルミート作用素と自己共役作用素の記述の切り分けを行わずに正しい記述になるよう努め、問題がなくなってから別々の項目に切り分けたいと思います。

--亜顎十郎 2008年9月1日 (月) 19:16 (UTC)wiki記法修正--Makotoy 2008年9月1日 (月) 20:16 (UTC)

以前の版にある「{ ξ ∈ H : η → <ξ, h η> が D上有界 } = D」という条件を見落とされていませんか。ふつうはこの条件を入れずに二つめの条件だけを要求したものを対称作用素といって、この条件も満たすものを自己共役作用素というと思うのですが。--Makotoy 2008年9月1日 (月) 20:16 (UTC)

えーと、symmetic operator の定義だと書いたのは確かに誤解ですね。その点は訂正します。一方で、この定義の仕方はスタンダードな説明に書き換えられるべきだという考えも変わりません。ここでのself-adjoint operatorの定義ははしょりすぎだと思います。ここでDと書いているのは、オペレータhのドメインD(h)のことですね。通常のself-adjoint operatorの導入は、adjoint operator  h^* を定義してから、そのドメインD(h^*)とD(h)の比較をしますね。adjoint operatorを迂回した説明はまずいと思います。省略した説明で理解が簡明になるならそれでもいいのですが、特にメリットがあるようにも思えません。それに、unbounded operatorの場合、D(h^*)がdenseになるという保証はないということが言及できません。(もっともそこまで言う必要がないという人もいるかもしれませんが。)とりあえず、ご返答まで。--亜顎十郎 2008年9月2日 (火) 18:29 (UTC)

まず始めに、以前からある「H の稠密な部分空間 D」というのと対称性の仮定から共役作用素の定義域は自動的に稠密になります。ところで非有界作用素に関わる部分を加筆したのは僕ですが、他の定義の仕方と比べてあの書き方が一番いいとか思っているわけではないので、よりわかりやすい記述に変えることには賛成だということをご承知ください。例えば、旧版では「エルミート＝有界自己共役」なのか「エルミート＝自己共役」なのかはっきりしないところは直すべきところだと思います。しかし、亜顎十郎さんが加筆していただいた部分ですが、

• 冒頭の「エルミート作用素」の定義がいわゆる対称作用素のものになっているのに、その下でエルミート作用素と対称作用素を区別すると述べられている
• 旧「定義」節が「エルミート作用素 vs 対称作用素 vs 自己共役作用素」に変えられているが、節の名前として長すぎ、記述内容の反映ともいいがたい
• 本文の色・フォントサイズの変更はウィキペディアの本文の慣習的なスタイルに合わない、そもそもそういう「注意」をいちいち強調していたらきりがない
• 参考文献のところも「関数解析の専門書には...載っている。」よりは具体的な書名を挙げた方がよい

などの問題があるように思います。一度前の版に戻すことにしませんか。ご検討よろしくおねがいいたします。--Makotoy 2008年9月2日 (火) 20:11 (UTC)