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ディリクレ積分(ディリクレせきぶん、英: Dirichlet integral)とは、広義積分
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f75f22a383ec5961572b343ea4183a34d78ee7)
のことである。これは π/2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分では可積分でない。ディリクレ積分の名は数学者ペーター・グスタフ・ディリクレから取られている。
この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。
ディリクレ積分
f(z) = eiz/z の積分を考える。0 < r < R をとり、図のように経路 Cr, CR を定める(赤領域を左に見るように進む向きを正とする)。f は赤領域で正則であるから、コーシーの積分定理により
![{\displaystyle \int _{C_{R}}{\frac {e^{iz}}{z}}\,dz+\int _{-R}^{-r}{\frac {e^{ix}}{x}}\,dx+\int _{C_{r}}{\frac {e^{iz}}{z}}\,dz+\int _{r}^{R}{\frac {e^{ix}}{x}}\,dx=0\qquad \cdots (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e105679571e64efc1baa8724b582efe0820eb21)
となる。
まず、左辺第2項と第4項はオイラーの公式により
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-R}^{-r}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx+\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx&=-\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{-ix}}{x}}dx+\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx\\&=2i\int _{r}^{R}{\dfrac {\sin x}{x}}dx.\ \ \cdots (2)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005a7fe5873e94534b333e3ebe9e451412c4b023)
次に
についての周回積分は
でゼロとなることを示す。(ジョルダンの補題)
置換
により、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|&=\left|\int _{0}^{\pi }f(Re^{it})iRe^{it}dt\right|\\&\leq \int _{0}^{\pi }|f(Re^{it})|R\,dt=\int _{0}^{\pi }e^{-R\sin t}dt=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-R\sin t}dt\\&\leq 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-2Rt/\pi }dt\quad \left(\because \ \ t\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\ \Longrightarrow \ {\dfrac {2}{\pi }}t\leq \sin t\right)\\&={\frac {\pi }{R}}(1-e^{-R})\to 0\quad (R\to \infty ).\ \ \cdots (3)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c665b3b26133306705e2edcfd6244d791a444f9)
また、
についての周回積分は
で
となることを示す。(留数定理)
のとき、指数関数
の定義により、
![{\displaystyle {\frac {e^{iz}}{z}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(iz)^{n}}{n!}}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {i^{n}}{n!}}z^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df5a7982ec0d6e0d7b3086f391f8c8c8b7a056f)
とおくと、
![{\displaystyle \int _{C_{r}}{\dfrac {e^{iz}}{z}}dz=\int _{C_{r}}{\dfrac {1}{z}}dz+\int _{C_{r}}g(z)dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314c42d81a27ac705c52c0a3f909467ace66fc9e)
ここで、置換
により、
![{\displaystyle \int _{C_{r}}{\dfrac {1}{z}}dz=\int _{\pi }^{0}{\dfrac {1}{re^{it}}}ire^{it}dt=i\int _{\pi }^{0}dt=-i\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8684dac30eb6df03a9f7e27474cc02a9e4e7cd1)
次に、
を示そう。g は整関数、とくにコンパクト集合
で連続だから、ワイエルシュトラスの最大値定理を使うと、
![{\displaystyle {}^{\exists }M>0,\ {}^{\forall }z\in K\ ;\ |g(z)|\leq M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac77812861bcc610554a41f5d21d73c6d47a2855)
を十分小さくとれば、経路
(の像)は K に含まれるから、
![{\displaystyle \left|\int _{C_{r}}g(z)dz\right|\leq \int _{C_{r}}|g(z)||dz|\leq M\int _{C_{r}}|dz|=M\pi r\to 0\ \ (r\to 0).\ \ \cdots (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa1b3b91aa13333e12e7210eac119d590a33ca2)
以上より、(1) において
とすれば、(2)~(4)より
![{\displaystyle 0+2i\int _{0}^{\infty }{\dfrac {\sin x}{x}}dx-i\pi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87fabed14d7fac9bd2308790788d16edbca326b)
すなわち
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {\sin x}{x}}dx={\dfrac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987b3b04aee9b884fe86c9094b3ca4c845a57ae8)
が従う。
参考文献[編集]