n 番目のタクシー数 （タクシーすう、taxicab number 、Ta(n )もしくはTaxicab(n )と表記される）とは、2つの立方数 の和として n 通りに表される最小の正の整数 と定義される。1954年 にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ とエドワード・メートランド・ライト （英語版 ） 整数 n に対し、Ta(n )が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として n 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(n )であるとは限らない。
「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTa(2)であることをシュリニヴァーサ・ラマヌジャン が指摘したエピソードから来ている（後述）。そのため、この数の問題とタクシー との関連は全く無い。
なお、ここでの立方数は正の整数のみを考える。0 と負の整数も含めるときは、名前の「taxicab」をひっくり返してキャブタクシー数
与えられた正の整数 N に対し、不定方程式
x
3
+
y
3
=
N
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=N}
の整数解 y ≥ x > 0 の個数は明らかに有限個である（0 < y 3 < N であるため）。これを s (N ) とおく。Ta(n ) は s (N ) ≥ n となる最小の N である。
任意の n に対して s (N ) ≥ n となる整数 N が存在することが知られており、したがって Ta(n ) は存在する。実際 m を正の整数とすると
x
3
+
y
3
=
m
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=m}
は楕円曲線 なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点
(
x
i
/
d
i
,
y
i
/
d
i
)
(
i
=
1
,
2
,
…
,
k
)
{\displaystyle (x_{i}/d_{i},y_{i}/d_{i})(i=1,2,\ldots ,k)}
(
x
i
D
i
)
3
+
(
y
i
D
i
)
3
=
m
d
1
3
d
2
3
⋯
d
k
3
,
D
i
=
(
d
1
d
2
⋯
d
k
)
/
d
i
{\displaystyle (x_{i}D_{i})^{3}+(y_{i}D_{i})^{3}=md_{1}^{3}d_{2}^{3}\cdots d_{k}^{3},D_{i}=(d_{1}d_{2}\cdots d_{k})/d_{i}}
が成り立つ。
N
=
m
d
1
3
d
2
3
⋯
d
k
3
{\displaystyle N=md_{1}^{3}d_{2}^{3}\cdots d_{k}^{3}}
s
(
N
)
≥
k
{\displaystyle s(N)\geq k}
m = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから s (N ) がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta(n ) は確かに存在する。
一般に F が3次形式で
F
(
x
,
y
)
=
m
0
{\displaystyle F(x,y)=m_{0}}
が階数 r の楕円曲線を与えているとき、
F
(
x
,
y
)
=
m
,
m
=
m
0
d
3
{\displaystyle F(x,y)=m,m=m_{0}d^{3}}
の解の個数が > c (log m )r /(r +2)m が無数に存在する（c > 0 は F と m 0 のみに依存し d には依存しない）。
x
3
+
y
3
=
657
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=657}
は階数3を持つことが知られている（実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる）。よって
s
(
N
)
>
c
log
3
/
5
N
{\displaystyle s(N)>c\log ^{3/5}N}
となる N が無数に存在する[ 1]
Ta
(
n
)
<
exp
(
c
n
5
/
3
)
{\displaystyle {\text{Ta}}(n)<\exp(cn^{5/3})}
が無数の n に対して成り立つ。
現在までに以下の6つのタクシー数が知られている（オンライン整数列大辞典 の数列 A011541 参照）。
Ta
(
1
)
=
2
=
1
3
+
1
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
2
)
=
1729
=
1
3
+
12
3
=
9
3
+
10
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
3
)
=
87539319
=
167
3
+
436
3
=
228
3
+
423
3
=
255
3
+
414
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
4
)
=
6963472309248
=
2421
3
+
19083
3
=
5436
3
+
18948
3
=
10200
3
+
18072
3
=
13322
3
+
16630
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
5
)
=
48988659276962496
=
38787
3
+
365757
3
=
107839
3
+
362753
3
=
205292
3
+
342952
3
=
221424
3
+
336588
3
=
231518
3
+
331954
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
6
)
=
24153319581254312065344
=
582162
3
+
28906206
3
=
3064173
3
+
28894803
3
=
8519281
3
+
28657487
3
=
16218068
3
+
27093208
3
=
17492496
3
+
26590452
3
=
18289922
3
+
26224366
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}}
以下の数字は7通り～12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、Ta(7)からTa(12)の上限となる。
Ta
(
7
)
≤
24885189317885898975235988544
=
2648660966
3
+
1847282122
3
=
2685635652
3
+
1766742096
3
=
2736414008
3
+
1638024868
3
=
2894406187
3
+
860447381
3
=
2915734948
3
+
459531128
3
=
2918375103
3
+
309481473
3
=
2919526806
3
+
58798362
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)\leq 24885189317885898975235988544&=2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&=2685635652^{3}+1766742096^{3}\\&=2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=2915734948^{3}+459531128^{3}\\&=2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=2919526806^{3}+58798362^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
8
)
≤
50974398750539071400590819921724352
=
299512063576
3
+
288873662876
3
=
336379942682
3
+
234604829494
3
=
341075727804
3
+
224376246192
3
=
347524579016
3
+
208029158236
3
=
367589585749
3
+
109276817387
3
=
370298338396
3
+
58360453256
3
=
370633638081
3
+
39304147071
3
=
370779904362
3
+
7467391974
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (8)\leq 50974398750539071400590819921724352&=299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&=336379942682^{3}+234604829494^{3}\\&=341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&=367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&=370298338396^{3}+58360453256^{3}\\&=370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&=370779904362^{3}+7467391974^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
9
)
≤
136897813798023990395783317207361432493888
=
41632176837064
3
+
40153439139764
3
=
46756812032798
3
+
32610071299666
3
=
47409526164756
3
+
31188298220688
3
=
48305916483224
3
+
28916052994804
3
=
51094952419111
3
+
15189477616793
3
=
51471469037044
3
+
8112103002584
3
=
51518075693259
3
+
5463276442869
3
=
51530042142656
3
+
4076877805588
3
=
51538406706318
3
+
1037967484386
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (9)\leq 136897813798023990395783317207361432493888&=41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&=46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\&=47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&=51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\&=51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\&=51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\&=51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
10
)
≤
7335345315241855602572782233444632535674275447104
=
15695330667573128
3
+
15137846555691028
3
=
17627318136364846
3
+
12293996879974082
3
=
17873391364113012
3
+
11757988429199376
3
=
18211330514175448
3
+
10901351979041108
3
=
19262797062004847
3
+
5726433061530961
3
=
19404743826965588
3
+
3058262831974168
3
=
19422314536358643
3
+
2059655218961613
3
=
19426825887781312
3
+
1536982932706676
3
=
19429379778270560
3
+
904069333568884
3
=
19429979328281886
3
+
391313741613522
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (10)&\leq 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&=19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
11
)
≤
87039729655193781808322993393446581825405320183232000
=
381087194739069520
3
+
316469686016945240
3
=
385744811881975000
3
+
309479752750029680
3
=
390662458762053660
3
+
301539992238035460
3
=
392138457234189120
3
+
299032406381730840
3
=
426267111265435440
3
+
212424209933109720
3
=
426887616463852180
3
+
209891877907138700
3
=
428126038425768228
3
+
204623083640747772
3
=
438609133406051160
3
+
138573856797762960
3
=
439653507772479000
3
+
127174000598779680
3
=
443138459854855128
3
+
27089483598685872
3
=
443171971973855943
3
+
5134510178400057
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (11)&\leq 87039729655193781808322993393446581825405320183232000\\&=381087194739069520^{3}+316469686016945240^{3}\\&=385744811881975000^{3}+309479752750029680^{3}\\&=390662458762053660^{3}+301539992238035460^{3}\\&=392138457234189120^{3}+299032406381730840^{3}\\&=426267111265435440^{3}+212424209933109720^{3}\\&=426887616463852180^{3}+209891877907138700^{3}\\&=428126038425768228^{3}+204623083640747772^{3}\\&=438609133406051160^{3}+138573856797762960^{3}\\&=439653507772479000^{3}+127174000598779680^{3}\\&=443138459854855128^{3}+27089483598685872^{3}\\&=443171971973855943^{3}+5134510178400057^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
12
)
≤
16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000
=
21721970100126962640
3
+
18038772102965878680
3
=
21987454277272575000
3
+
17640345906751691760
3
=
22267760149437058620
3
+
17187779557568021220
3
=
22351892062348779840
3
+
17044847163758657880
3
=
24297225342129820080
3
+
12108179966187254040
3
=
24332594138439574260
3
+
11963837040706905900
3
=
24403184190268788996
3
+
11663515767522623004
3
=
25000720604144916120
3
+
7898709837472488720
3
=
25060249943031303000
3
+
7248918034130441760
3
=
25258892211726742296
3
+
1544100565125094704
3
=
25260575914339118080
3
+
771180546485662040
3
=
25260802402509788751
3
+
292667080168803249
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (12)&\leq 16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000\\&=21721970100126962640^{3}+18038772102965878680^{3}\\&=21987454277272575000^{3}+17640345906751691760^{3}\\&=22267760149437058620^{3}+17187779557568021220^{3}\\&=22351892062348779840^{3}+17044847163758657880^{3}\\&=24297225342129820080^{3}+12108179966187254040^{3}\\&=24332594138439574260^{3}+11963837040706905900^{3}\\&=24403184190268788996^{3}+11663515767522623004^{3}\\&=25000720604144916120^{3}+7898709837472488720^{3}\\&=25060249943031303000^{3}+7248918034130441760^{3}\\&=25258892211726742296^{3}+1544100565125094704^{3}\\&=25260575914339118080^{3}+771180546485662040^{3}\\&=25260802402509788751^{3}+292667080168803249^{3}\end{aligned}}}
ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)は1657年 にバーナード・フラン・ベッシー （英語版 ） [ 2] レオンハルト・オイラー は
X
3
+
Y
3
=
Z
3
+
W
3
{\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}+W^{3}}
の有理数解の一般解を与えており、その後アドルフ・フルヴィッツ はそれを単純化した[ 3]
X
=
t
(
1
−
(
a
−
3
b
)
(
a
2
+
3
b
2
)
)
,
Y
=
t
(
(
a
+
3
b
)
(
a
2
+
3
b
2
)
−
1
)
,
Z
=
t
(
(
a
+
3
b
)
−
(
a
2
+
3
b
2
)
2
)
,
W
=
t
(
(
a
2
+
3
b
2
)
2
−
(
a
−
3
b
)
)
.
{\displaystyle X=t(1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})),Y=t((a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1),Z=t((a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2}),W=t((a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)).}
ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。t , a , b が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta(2) は (a , b , t ) = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており t , a , b が整数であるものからは与えられない（もちろん t , a , b をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する t , a , b がどのようなものかは明らかではない）。またオイラーは
(
9
t
4
)
3
+
(
9
t
3
+
1
)
3
=
(
9
t
4
+
3
t
)
3
+
1
{\displaystyle (9t^{4})^{3}+(9t^{3}+1)^{3}=(9t^{4}+3t)^{3}+1}
を発見している（t = 1 とおくとタクシー数を得る）。
Ta(2) は後にハーディとラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば[ 4]
「
私は彼をパットニーの療養所に見舞ったことを覚えている。私はナンバーが1729 のタクシーに乗り、その数は無味乾燥なもののように思え、それが不吉なことの前兆でないことを願っていた。しかし彼は「そんなことはありません、とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」と返した。
」
ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式
(
6
A
2
−
4
A
B
+
4
B
2
)
3
+
(
−
3
A
2
−
5
A
B
+
5
B
2
)
3
=
(
4
A
2
−
4
A
B
+
6
B
2
)
3
+
(
5
A
2
−
5
A
B
−
3
B
2
)
3
{\displaystyle (6A^{2}-4AB+4B^{2})^{3}+(-3A^{2}-5AB+5B^{2})^{3}=(4A^{2}-4AB+6B^{2})^{3}+(5A^{2}-5AB-3B^{2})^{3}}
を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には
X
3
+
Y
3
=
Z
3
±
1
{\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}\pm 1}
の無限個の整数解を得る（オイラーとは別の）方法が述べられている[ 5]
ラマヌジャンやハーディー・ライトがタクシー数の解法を示して以降は、コンピュータ による発見が常となった。ジョン・リーチ （英語版 ） 1957年 にTa(3)を発見した。1991年 にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは1994年 にTa(5)を発見し、1999年 にデービッド・W・ウィルソンによって確認された[ 6] [ 7] 2008年 3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが[ 8] 2003年 に Claude et al. によって99％の確率でTa(6)であろうとされていたものだった[ 9] 2006年 にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた[ 10] 2008年 にはクリスチャン・ボワイエとJaroslaw WroblewskiによってTa(11)からTa(22)までの上限が更新された[ 11]
より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり13 以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 T が T = x 3 +y 3 と書かれるとき、全ての組 (x , y ) に対して x , y は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年 に大学院生だったポール・ボイタによって発見された（未発表）。これは以下の通りである。
15170835645
= 5173 + 24683
= 7093 + 24563
= 17333 + 21523 . 4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年 にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。
1801049058342701083
= 922273 + 12165003
= 1366353 + 12161023
= 3419953 + 12076023
= 6002593 + 11658843 . （オンライン整数列大辞典 の数列 A080642 参照）
上記の通り制限のない場合には s (N ) はいくらでも大きくできるが、N が立方因子をもたないとき、
x
3
+
y
3
=
N
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=N}
の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を r (N ) とすると
s
(
N
)
<
c
r
(
N
)
{\displaystyle s(N)<c^{r(N)}}
となる絶対定数 c が存在する。 N が大きいときは
s
(
N
)
<
9
(
15
r
(
N
)
+
1
)
{\displaystyle s(N)<9(15^{r(N)}+1)}
が成り立つ[ 12]
^ Silverman (1983) ^ Dickson (1919 , p. 552)^ Hardy & Wright (2008 , Theorem 235)^ Quotations by Hardy - ウェイバックマシン （2017年8月29日アーカイブ分）^ Ken Ono and Sarah Trebat-Leder (2016 , 2017 )
^ Numbers Count column of Personal Computer World, page 610, Feb 1995
^ "The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496" by David W. Wilson ^ NMBRTHRY Archives - March 2008 (#10) "The sixth taxicab number is 24153319581254312065344" by Uwe Hollerbach ^ C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203
^ Tables of best known results (in May 2007) on Taxicab and Cabtaxi numbers ^ New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi numbers ^ Silverman (1982)
Hardy, G.H. ; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers . Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5 . Zbl 1159.11001 Dickson, Lernard Eugene (1919). History of the theory of numbers, vol. II, Diophantine Analysis . https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations , Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2016). “The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 2 : No. 26. doi :10.1007/s40993-016-0058-2 . Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2017). “Erratum to: The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 3 : No. 12. doi :10.1007/s40993-017-0076-8 . E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3 , Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online . 「Personal Computer World」1989年11月号も参照せよ。
David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496 , Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online . (ウィルソンはこれを著した際、1994年にJ・A・ダーディスがTa(5)を発見していたことを認識していなかった）
D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d) , Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394.
C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)? , Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196–1203
Silverman, Joseph H. (1983). “Integer points on curves of genus 1”. J. London Math. Soc. (2) 28 : 1-7. doi :10.1112/jlms/s2-28.1.1 . MR 0703458 . Silverman, Joseph H. (1982). “Integer points and the rank of Thue elliptic curves”. Invent. Math. 66 : 395-404. doi :10.1007/BF01389220 . MR 0662599 . 
