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シュールの不等式(シュールのふとうしき)は、イサイ・シュールに因んで名付けられた、非負実数 x, y, z と正数 t に対して成り立つ、次の絶対不等式である。
![{\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb05031b3c81fe951be7c1ab07bf093b357ccc62)
等号成立は x = y = z のとき、または x, y, z のいずれかが 0 で残り2つが等しいときのみ。また、t が正の偶数の場合はすべての実数 x, y, z について不等式が成り立つ。
不等式は x, y, z について対称なので、x ≥ y ≥ z としても一般性を失わない。すると、示すべき不等式は
![{\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92dd049645383022315ce4a06443dd25293e3a06)
と変形できるが、左辺の各項は明らかに非負である。
この証明により、シュールの不等式は次のように一般化できる。a, b, c を非負実数として、x ≥ y ≥ z かつ a ≥ b ≥ c であるとき、
![{\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ca6fb7283da5e044e6ff42afa7b63cafdb4832)
が成り立つ。
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