シュタイナーの内接楕円

3頂点が(1,7), (7,5), (3,1) である三角形とシュタイナーの内接楕円。マーデンの定理により、 ${\begin{aligned}&D_{x}(1+7i-x)(7+5i-x)(3+i-x)\\&=-3(3+5i-x)\left({\tfrac {13}{3}}+{\tfrac {11}{3}}i-x\right)\end{aligned}}$ であるから、焦点の座標は (3,5) と (13/3,11/3) になる。

  任意の三角形 △ABC

  シュタイナーの内接楕円

  シュタイナーの（外接）楕円

  長軸および短軸

幾何学における三角形のシュタイナーの内接楕円（シュタイナーのないせつだえん）は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する楕円である。中点楕円、ガウス楕円とも呼ばれる。この楕円はデリーによってヤコブ・シュタイナーに属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている 。

シュタイナーの名前を冠するシュタイナー楕円は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある。

以下の解説で特に説明がない場合、a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。

三角形上の座標による表記

シュタイナーの内接楕円の座標は三線座標によって以下のように表される。

$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0$

重心座標では以下のようになる。

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2yz-2zx=0$

性質

• シュタイナーの内接楕円の中心は、元の三角形の重心である。重心を中心とする唯一の内接楕円である。
• シュタイナーの内接楕円の面積は、内接楕円の中で最も大きい。その面積は元の三角形の面積の ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$倍である 。
• シュタイナー楕円とは重心を共有するとともに相似の関係にあり、相似比は 1:2 であるとともに、両楕円の長軸および短軸はそれぞれ同一直線上に在る。したがって両楕円の焦点もまた同一直線上に在り、離心率は等しく、面積比は 1:4 である。
• 三角形に内接する二次曲線のうち、2辺以上の中点に接するのはシュタイナーの内接楕円のみである。
• シュタイナーの内接楕円は中点三角形のシュタイナー楕円である。
• シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さは以下の式で表される。

${\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},$

焦点間の長さは以下になる。

${\frac {1}{3}}{\sqrt {Z}}$

ただし Z は以下の式で与えられる。

$Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.$

• 複素数平面において、三角形の3つの頂点の座標を零点にもつような3次式を考えたとき、シュタイナーの内接楕円の焦点の座標はその3次式の導関数の零点となる（マーデンの定理、冒頭の図も参照。）。
• 長軸は、3頂点からの距離が最も短くなる直線上にある 。
• G, F₊, F₋ を三角形の重心と2つのフェルマー点とする。シュタイナーの内接楕円の長軸は∠F₊GF₋の2等分線上にある。また、2つの軸の長さは |GF₋| ± |GF₊| という式で表される。
• シュタイナー内接楕円の2つの軸はキーペルト放物線に接する。
• シュタイナー内接楕円の2つの焦点は17点3次曲線上にある。
• クラーク・キンバリングの「BICENTRIC PAIRS OF POINTS」ではP(118),U(118)として登録されており、重心座標は以下の式で表される。すなわち、

$V=2a^{2}b^{2}c^{2}Z^{3},W=b^{6}c^{6}+c^{6}a^{6}+a^{6}b^{6}-3a^{4}b^{4}c^{4}-(b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}+a^{4}b^{4})Z^{2},$

$f(a,b,c)=(b^{2}-c^{2})(a^{4}-b^{4}c^{4}-a^{2}Z)+{\sqrt {V-W}}$

として

$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\;,\;f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)$

• 三角形ABCに内接する楕円の焦点を P, Q とすると以下の式が成り立つ。

${\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.$

• △ABCと重心に対する九点円錐曲線である。