シムソンの定理

幾何学におけるシムソンの定理とは、 $△ ABC$ の外接円上の点 $P$ から三角形の各辺 $BC, CA, AB$ におろした垂線の足 $L, N, M$ がすべて同一直線上にある（共線関係にある）という定理である。この直線のことをシムソン線（シムソンライン）と呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた^[1]。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレス^[2]である。

シムソン線の性質

三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線はPから対辺に下ろした垂線になる。またPを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は辺の1つと一致する。
Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とする。Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線が成す角は、POP'の半分に等しい。特にPとP'が直径の両端にあるとき、2本のシムソン線は垂直に交わる。このときの交点は九点円上にある。
三角形のABCの垂心をHとする。Pに対するシムソン線は、PHの中点を通る。
共通の外接円を持つ2つの三角形があったとき、Pに対する2本のシムソン線が成す角はPによらず一定の値をとる。
シムソン線による包絡線はデルトイド（内サイクロイドの一種）となる。このデルトイドをスタイナー（シュタイナー）のデルトイドという。
三角形の外接円上に点 $P$ をとる。ポンスレの閉形定理よりこの三角形と、内接円と外接円を共有する三角形は無数に存在するが、これらの三角形における $P$ のシムソン線は、定点を通る。これをグリーンヒル-ディクソンの定理（Greenhill-Dixon theorem）という^[3]^[4]。サー・ジョージ・グリーンヒルとA. C. ディクソンの名を冠する^[5]。後述の双心多角形におけるシムソン線でも同様に成立する^[6]。

証明

初等幾何による証明

A,B,Cの内の点Pの右回り隣の点をA,左回り隣の点をB,対角点をCとする。

AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。

∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。 ∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある. ∠PAC<90度とする。

点A,P,N,Mは同一円周上にある。 A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから ∠PAM=∠PAC…①

直線BAに対してPとMは反対側にある。 Nは直線BA上の点だから直線NAに対してPとMは反対側にあるから NとAは四角形APNMの対角点となるから ∠PAM+∠MNP=180度…②

点P,L,B,Nは同一円周上にある。 B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠CBP>90度だから直線BAに対してLとCは反対側にあるから直線BAに対してLとPは同じ側にある。

Nは直線BA上の点だから直線BNに対してLとPは同じ側にあるから BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから ∠PNL=∠PBL…③

∠CBP>90度だから (B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度. ∠PAC+∠CBP=180度だから ∠PBL=∠PAC…④

①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。

したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.

複素数による証明

複素数による証明

△ABCの外接円周上の点PからBC、CA、ABに下ろした垂線の足をL、M、Nとする。

外接円の中心に0を対応させ、点Pに1を対応させて、外接円を単位円とする座標をいれて、点 A,B,C,L,M,Nのそれぞれの位置の複素数を $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ とする。

$x$ の共役複素数を ${\bar {x}}$ とすると

A,B,C,Pは単位円上の点だから、 $|a|=|b|=|c|=1.$ …(1)

PL と BC のなす角は直角だから、 $(d-1)({\bar {c}}-{\bar {b}})+({\bar {d}}-1)(c-b)=0.$ …(2)

L,B,C は同一直線上にあるから、 $(d-b)({\bar {c}}-{\bar {b}})-({\bar {d}}-{\bar {b}})(c-b)=0.$ …(3)

$b{\bar {b}}=c{\bar {c}}=|b|^{2}=|c|^{2}=1$ である事を利用して、(1),(2),(3) のdに関する連立方程式を解くと、

$2d=b+c-bc+1.$

同様にして、 $2e=c+a-ca+1,\ \ 2f=a+b-ab+1.$

次に $(e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d)$ を求めると、

${\begin{aligned}4((e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d))&=(({\bar {a}}b-{\bar {ab}})(|c|^{2}-1)+({\bar {b}}c-{\bar {bc}})(|a|^{2}-1)+({\bar {ac}}-{\bar {ca}})(|b|^{2}-1)\\&\ +a(|c|^{2}-|b|^{2})+b(|a|^{2}-|c|^{2})+c(|b|^{2}-|a|^{2})\\&\ +{\bar {a}}(|b|^{2}-|c|^{2})+{\bar {b}}(|c|^{2}-|a|^{2})+{\bar {c}}(|a|^{2}-|b|^{2})).\end{aligned}}$

となり、 $|a|=|b|=|c|=1$ だから $(e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d)=0$ となって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.

一般化

一般化1

$△ ABC$ と、外心を通る直線 $l$ 、点 $P$ について、 $AP,BP,CP$ と $l$ の交点の $BC,CA,AB$ における直交射影は共線である。また $P$ と垂心の中点もこの直線上にある。 $P$ を $l$ 上に置けば、 $l$ と一致する^[7]^[8]^[9]。

一般化2

外接円錐曲線 $Γ$ と、平面上の2点 $P,Q$ について、直線 $PA,PB,PC$ と $Γ$ の第二交点をそれぞれ $A 1, B 1, C 1$ とする。 $P$ と、 $QA 1, QB 1, QC 1$ と $BC,CA,AB$ の交点延べ4点が共線であることと、 $Q$ が $Γ$ 上にあることは同値^[10]。

一般化3

三角形のシムソン線から出発して、帰納的に任意の円内接多角形におけるシムソン線を定義することができる^[11]^[12]^[13]。これは大抵E. M. ラングレーに帰される。特に円に内接する四角形に拡張したものはよく知られる^[14]。

円に内接する

n

角形とその外接円上の点

P

について、

n

角形の頂点のうち、

n - 1

個からなる多角形における

P

のシムソン線延べ

n

本に、

P

から降ろした垂線の足はすべて共線である。これを

n

角形におけるシムソン線と定義できる。

一般化4

円錐曲線 $Γ$ 上に7点 $A, B, C, A', B, C', I$ を、 $△ ABC, △ A'B'C'$ が $S$ を中心に配景となるように配置する。このとき $IA'$ と $BC$ 、 $IB'$ と $CA$ 、 $IC'$ と $AB$ のそれぞれの交点と $S$ は共線である^[15]^[16]。 $S$ を無限遠に置き、 $Γ$ を円とすれば、任意角に一般化されたシムソン線を得る。

他にも多くの拡張が知られる^[17]^[18]。

脚注

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参考文献

清宮俊雄『幾何学　発見的研究法』（改訂版）科学新興新社、1988年3月。ISBN 978-4-89428-188-2。
清宮俊雄「4.7」『初等幾何学』裳華房〈基礎数学選書 7〉、2002年8月（原著1972年5月）。ISBN 978-4-7853-1107-0。 - 2002年にオンデマンド印刷で復刊。
高木貞治『近世数学史談・数学雑談』（復刻版）共立出版、1996年12月、90-93頁。ISBN 978-4-320-01551-7。
中居, 重四郎「擴張セルしむそん線ニ就テ」『日本中等教育数学会雑誌』第12巻第6号、1930年、389–392頁、doi:10.32296/jjsmet.12.6_389。
下田, 虎美「垂心トしむそん線」『日本中等教育数学会雑誌』第23巻第5号、1941年、183–190頁、doi:10.32296/jjsmet.23.5_183。
Takamatsu, Shûzô (1937). “On the Deltoid and Simson Line”. Tohoku Mathematical Journal, First Series 43: 338–350.
Takamatsu, Shûzô; Ogino, Shûsaku (1937). “On Some Cubics connected with Simson Lines”. Tohoku Mathematical Journal, First Series 43: 99–103.

外部リンク

『シムソンの定理とその２通りの証明』 - 高校数学の美しい物語
シムソンの定理 (PDF)
Jackson, Frank and Weisstein, Eric W. [in 英語]. "Simson Line". mathworld.wolfram.com (英語).
Simson Line: What is it? - Cut The Knot
A Generalization Simson's line,carnot theorem, Collings-Carn- AoPS

[1] “Gibson History 7 - Robert Simson”. 2008年11月11日閲覧。

[2] “Simson Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles”. 2008年9月23日閲覧。

[3] 小林, 幹雄「Simson線ニ就テ」『日本中等教育数学会雑誌』第11巻第2号、1929年、66–71頁、doi:10.32296/jjsmet.11.2_66。

[4] Kubota, Tadahiko (1928). “Some Theorems on Poncelet's Problem in Closure, I”. Tohoku Mathematical Journal, First Series 29: 296–299.

[5] William Gallatly (1910). The Morden Geometry of the Triangle.. F. Hodgson, n.d.

[6] 窪田忠彦『初等幾何学特選問題』共立社書店、1932年、81-84頁。NDLJP:1211458。

[7] “A Generalization of Simson Line”. Cut-the-knot (April 2015). 2024年11月4日閲覧。

[8] Nguyen Van Linh (2016), “Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem”, Forum Geometricorum 16: 57–61, オリジナルの2023-10-23時点におけるアーカイブ。

[NguyenLePhuocandNguyenChuongChi-9] Phuoc, Nguyen Le; Chi, Nguyen Chuong (2016-07). “100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem” (英語). The Mathematical Gazette 100 (548): 341–345. doi:10.1017/mag.2016.77. ISSN 0025-5572.

[10] Smith, Geoff (2015), “99.20 A projective Simson line”, The Mathematical Gazette 99 (545): 339–341, doi:10.1017/mag.2015.47

[11] Steggall (1895-02). “On the envelope of the Simson line of a polygon” (英語). Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 14: 122–126. doi:10.1017/S0013091500031874. ISSN 1464-3839.

[12] Loong, Chi-Ho (1940). “Further Generalizations of Simson Line, Kantor Plint and Kantor Line”. Tohoku Mathematical Journal, First Series 46: 173–180.

[13] The Educational Times and Journal of the College of Preceptors (1898). The Educational Times and Journal of the College of Preceptors. The UCL Institute of Education. Francis Hodgson, London

[14] Cyster, R. F. (1941). “1507. The Simson Lines of a Cyclic Quadrilateral”. The Mathematical Gazette 25 (263): 56–58. doi:10.2307/3606490. ISSN 0025-5572. https://www.jstor.org/stable/3606490.

[15] 平野, 幸太郎「しむそん線ノ射影幾何學並ニ擬眞幾何學ヘノ擴張 I．」『日本中等教育数学会雑誌』第16巻第6号、1934年、361-379頁、doi:10.32296/jjsmet.16.6_361。

[16] Aubert. “Sur une généralisation du théorème de Pascal donnant neuf points en ligne droite”. Nouvelles annales de mathématiques 8 (3): 529-535..

[17] Ogino, Shusaku (1937). “On the Extension of Simson's Theorem”. Tohoku Mathematical Journal, First Series 43: 304–309.

[18] F. G.-M., Exercise de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, 1991

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