数学において、ケイリー=アロンホルトの微分作用素(ケイリー=アロンホルトのびぶんさようそ)は、多項式環上で定義される三つの微分作用素である。作用素の名は19世紀のイギリスの数学者アーサー・ケイリーとドイツの数学者ジークフリート・ハインリッヒ・アロンホルト(英語版)に因む。二次の特殊線形リー環の表現を与えており、古典的不変式論において、基本的な役割を果たす。
を不定元とし、標数0の体 K を係数とする多項式に対し、
![{\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{l=0}^{n}(n-2l)\xi _{l}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961413cf5ac01a55d24bfbade4f524dff3488988)
![{\displaystyle {\mathcal {D}}=\sum _{l=0}^{n}l\xi _{l-1}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc572fa27d9ff71e51371249f47cac29cde2751c)
![{\displaystyle \Delta =\sum _{l=0}^{n}(n-l)\xi _{l+1}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa09465eb6585d8b1da17fde222d78d76a9b083)
で定義される、多項式環
上の微分
をケイリー=アロンホルトの微分作用素という。
単項式
に対し、その次数
、重さ
は、
![{\displaystyle \operatorname {deg} \varphi =\sum _{l=0}^{n}m_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12cb5ed9ec91c40caee0828f79bb9f69121674c6)
![{\displaystyle \operatorname {weight} \varphi =\sum _{l=0}^{n}l\cdot m_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa703a0ca75116c7f20de7ccfa353c4c740250b)
で定義される。
の作用で次数
は不変であるが、重さ
については、
![{\displaystyle \operatorname {weight} {\mathcal {H}}\varphi =\operatorname {weight} \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea74a59df5bb6dba5b38d8266b0e2a9a09165719)
![{\displaystyle \operatorname {weight} {\mathcal {D}}\varphi =\operatorname {weight} \varphi -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d26180d88c65f44dc423bf8444a5a3806d603e)
![{\displaystyle \operatorname {weight} \Delta \varphi =\operatorname {weight} \varphi +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d3ea92c96cea74b55c2ae8d016c079bc0a768d5)
が成り立つ。
全ての項の次数が等しい多項式を同次多項式、全ての項の重さが等しい多項式を同重多項式という。同次同重多項式
に対し、その指数
を
![{\displaystyle \operatorname {ind} \phi =n\operatorname {deg} \phi -2\operatorname {weight} \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96844853fc335de9a0e767a0d622aaefc50171a9)
で定めると
![{\displaystyle {\mathcal {H}}\phi (\xi )=\operatorname {ind} \phi \cdot \phi (\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7192428375fc45b2db2e56bbb73f327c5f6d09)
が成り立つ。
二次特殊線形リー環の表現[編集]
交換子積を
で定めると、
同士の交換子は、
![{\displaystyle [{\mathcal {D}},\Delta ]={\mathcal {H}},\,\,[{\mathcal {H}},{\mathcal {D}}]=2{\mathcal {D}},\,\,[{\mathcal {H}},\Delta ]=-2\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9e238173001963d93b1f42825f522958f40300)
の関係を満たす。
これは二次特殊線形リー環
の基底
![{\displaystyle H={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,X={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\,\,Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b967d7106439b7c38e2283222cb4f2a0adc8535)
が満たす関係
![{\displaystyle [X,Y]=H,\,\,[H,X]=2X,\,\,[H,Y]=-2Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da41c0811789f4d7bc8b0a841d7e98b8d585e1fe)
に対応している。
そこで、
を対応関係
![{\displaystyle \lambda H+\mu X+\nu Y\rightarrow \lambda {\mathcal {H}}+\mu {\mathcal {D}}+\nu \Delta \quad (\lambda ,\mu ,\nu \in K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e561aa57553ad7c041281cb53c2ce551255786)
で与えれば、
は
を表現空間とする
のリー代数の表現となる。
参考文献[編集]
関連項目[編集]