推定理論 （英語版 ） 統計学 におけるクラメール・ラオの限界(CRB) （クラメールラオのげんかい、英 : Cramér–Rao bound ）（クラメール・ラオの下限(CRLB) 、クラメール・ラオの不等式 、Frechet–Darmois–Cramér–Rao 不等式 、情報不等式 とも）とは、ある確率分布の未知母数を推定する不偏推定量 には、その分散 についてある下限値が存在することを示すものである。名称は、1940年代にそれぞれ独立に推定精度に関する限界を見出した、ハラルド・クラメール 、カリャンプディ・ラダクリシュナ・ラオ 、モーリス・ルネ・フレシェ 、ジョルジュ・ダルモア （英語版 、フランス語版 ） [ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7]
最も単純に述べると、『任意の不偏推定量 の分散は、 そのフィッシャー情報量 の逆数以上になる』というものである。不偏な推定量がこの下限を達成するとき、その推定量は（完全な）有効推定量 （英語版 ） 平均二乗誤差 が最小のものとなるため、必然的に最小分散不偏推定量 （英語版 ）
しかしながら、どんな不偏推定量を考えても分散が決してクラメール・ラオの下限に到達できないようなケースもある（MVU推定量が存在するときでもこれは起こりえる）。
クラメール・ラオの限界には、不偏でない推定量に対するバージョンもある。不偏性の条件を取り除くことで、推定量の分散・平均二乗誤差が、不偏の場合のクラメール・ラオの下限を「下回る」ようなケースも存在する。推定量の偏り （英語版 ）
ここでは、母数が1つ・推定量が不偏である場合から始めて、いくつかのかなり一般的な場合へと拡張していく。どのバージョンでもある種の正規性の仮定をおくが、それはほとんどの「普通のふるまいをする」確率分布については成り立つものである。この条件については後述する。
何らかの確率密度関数
f
(
x
;
θ
)
{\displaystyle f(x;\theta )}
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
θ
^
{\displaystyle {\hat {\theta }}}
フィッシャー情報量
I
(
θ
)
{\displaystyle I(\theta )}
Var
(
θ
^
)
≥
1
I
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {1}{I(\theta )}}}
フィッシャー情報量
I
(
θ
)
{\displaystyle I(\theta )}
I
(
θ
)
=
E
[
(
∂
ℓ
(
X
;
θ
)
∂
θ
)
2
]
{\displaystyle I(\theta )=\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial \ell (X;\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}\right]}
と定義される。ここで、
ℓ
(
x
;
θ
)
=
ln
(
f
(
x
;
θ
)
)
{\displaystyle \ell (x;\theta )=\ln(f(x;\theta ))}
尤度 の自然対数 をとったもの（なお
∂
ℓ
(
x
;
θ
)
∂
θ
{\displaystyle {\frac {\partial \ell (x;\theta )}{\partial \theta }}}
スコア関数 （英語版 ）
E
{\displaystyle \operatorname {E} }
不偏推定量
θ
^
{\displaystyle {\hat {\theta }}}
e
(
θ
^
)
=
I
(
θ
)
−
1
Var
(
θ
^
)
{\displaystyle e({\hat {\theta }})={\frac {I(\theta )^{-1}}{\operatorname {Var} ({\hat {\theta }})}}}
不偏推定量の分散の下限値を、実際の分散で割った値、ともいえる。クラメール・ラオの下限より
e
(
θ
^
)
≤
1
{\displaystyle e({\hat {\theta }})\leq 1}
[ 編集 ] より一般に、確率変数
X
{\displaystyle X}
T
(
X
)
{\displaystyle T(X)}
ψ
(
θ
)
{\displaystyle \psi (\theta )}
E
[
T
(
X
)
]
=
ψ
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {E} \left[T(X)\right]=\psi (\theta )}
Var
(
T
)
≥
[
ψ
′
(
θ
)
]
2
I
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (T)\geq {\frac {[\psi '(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}
ここで
ψ
′
(
θ
)
{\displaystyle \psi '(\theta )}
ψ
(
θ
)
{\displaystyle \psi (\theta )}
θ
{\displaystyle \theta }
I
(
θ
)
{\displaystyle I(\theta )}
母数
θ
{\displaystyle \theta }
θ
^
{\displaystyle {\hat {\theta }}}
b
(
θ
)
=
E
[
θ
^
]
−
θ
{\displaystyle b(\theta )=\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]-\theta }
ψ
(
θ
)
=
b
(
θ
)
+
θ
{\displaystyle \psi (\theta )=b(\theta )+\theta }
Var
(
θ
^
)
≥
[
1
+
b
′
(
θ
)
]
2
I
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {[1+b'(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}
不偏のときの不等式は、
b
(
θ
)
=
0
{\displaystyle b(\theta )=0}
分散を小さくすることだけを考えるなら、定数関数となる「推定量」をとれば、分散はゼロである。しかし上記の式から、推定量の平均二乗誤差には
E
[
(
θ
^
−
θ
)
2
]
≥
[
1
+
b
′
(
θ
)
]
2
I
(
θ
)
+
b
(
θ
)
2
{\displaystyle \operatorname {E} \left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]\geq {\frac {[1+b'(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}+b(\theta )^{2}}
という下限が存在することになる。ここで、平均二乗誤差の標準的な分解式
MSE
(
θ
^
)
:=
E
[
(
θ
^
−
θ
)
2
]
=
E
[
(
θ
^
−
E
[
θ
^
]
)
2
]
+
(
E
[
θ
^
]
−
θ
)
2
{\displaystyle \operatorname {MSE} ({\hat {\theta }}):=\operatorname {E} \left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]\right)^{2}\right]+\left(\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}}
を用いた。
注意 ：もし
1
+
b
′
(
θ
)
<
1
{\displaystyle 1+b'(\theta )<1}
1
/
I
(
θ
)
{\displaystyle 1/I(\theta )}
1
+
b
′
(
θ
)
=
n
n
+
2
<
1
{\displaystyle 1+b'(\theta )={\frac {n}{n+2}}<1}
クラメール・ラオの限界を、母数が複数の場合にも拡張しよう。母数ベクトル を
θ
=
(
θ
1
,
θ
2
,
…
,
θ
d
)
T
∈
R
d
{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\left(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{d}\right)^{T}\in \mathbb {R} ^{d}}
とし（右肩の T は転置を表す（以下同じ））、それによって決まる確率密度関数
f
(
x
;
θ
)
{\displaystyle f(x;{\boldsymbol {\theta }})}
f
{\displaystyle f}
フィッシャー情報行列 は、
d
×
d
{\displaystyle d\times d}
I
m
,
k
{\displaystyle I_{m,k}}
I
m
,
k
=
E
[
∂
∂
θ
m
ln
f
(
x
;
θ
)
∂
∂
θ
k
ln
f
(
x
;
θ
)
]
=
−
E
[
∂
2
∂
θ
m
∂
θ
k
ln
f
(
x
;
θ
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{m,k}&=\operatorname {E} \left[{\frac {\partial }{\partial \theta _{m}}}\ln f\left(x;{\boldsymbol {\theta }}\right){\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\ln f\left(x;{\boldsymbol {\theta }}\right)\right]\\&=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta _{m}\partial \theta _{k}}}\ln f\left(x;{\boldsymbol {\theta }}\right)\right]\end{aligned}}}
で定まる行列のことである。
T
(
X
)
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)}
T
(
X
)
=
(
T
1
(
X
)
,
…
,
T
d
(
X
)
)
T
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)=(T_{1}(X),\ldots ,T_{d}(X))^{T}}
E
[
T
(
X
)
]
{\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {T}}(X)]}
ψ
(
θ
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}({\boldsymbol {\theta }})}
このとき、
T
(
X
)
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)}
分散共分散行列 に対するクラメール・ラオの限界は、
Cov
(
T
(
X
)
)
≥
∂
ψ
(
θ
)
∂
θ
(
[
I
(
θ
)
]
−
1
∂
ψ
(
θ
)
∂
θ
)
T
{\displaystyle \operatorname {Cov} \left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\geq {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}\left({\boldsymbol {\theta }}\right)}{\partial {\boldsymbol {\theta }}}}\left([I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)]^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}\left({\boldsymbol {\theta }}\right)}{\partial {\boldsymbol {\theta }}}}\right)^{T}}
となる。ここで、
行列に対する不等式
A
≥
B
{\displaystyle A\geq B}
A
−
B
{\displaystyle A-B}
非負定値 であるということである。
∂
ψ
(
θ
)
/
∂
θ
{\displaystyle \partial {\boldsymbol {\psi }}({\boldsymbol {\theta }})/\partial {\boldsymbol {\theta }}}
ヤコビ行列 （
i
j
{\displaystyle ij}
∂
ψ
i
(
θ
)
/
∂
θ
j
{\displaystyle \partial \psi _{i}({\boldsymbol {\theta }})/\partial \theta _{j}}
T
(
X
)
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)}
θ
{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}
ψ
(
θ
)
=
θ
{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}\left({\boldsymbol {\theta }}\right)={\boldsymbol {\theta }}}
Cov
(
T
(
X
)
)
≥
I
(
θ
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {Cov} \left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\geq I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)^{-1}}
のようになる。フィッシャー情報行列の逆行列 を計算するのが面倒な場合は、単に対応する対角成分の逆数をとることで、（より緩いかもしれないが）1つの下限が得られる[ 8]
Var
(
T
m
(
X
)
)
=
[
Cov
(
T
(
X
)
)
]
m
m
≥
[
I
(
θ
)
−
1
]
m
m
≥
(
[
I
(
θ
)
]
m
m
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {Var} (T_{m}(X))=\left[\operatorname {Cov} \left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\right]_{mm}\geq \left[I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)^{-1}\right]_{mm}\geq \left(\left[I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)\right]_{mm}\right)^{-1}}
クラメール・ラオの不等式が成り立つための確率密度関数
f
(
x
;
θ
)
{\displaystyle f(x;\theta )}
T
(
X
)
{\displaystyle T(X)}
フィッシャー情報量が常に定義されていること。言い換えると、次式を
x
{\displaystyle x}
∂
∂
θ
ln
f
(
x
;
θ
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f(x;\theta )}
T
{\displaystyle T}
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
∂
∂
θ
[
∫
R
T
(
x
)
f
(
x
;
θ
)
d
x
]
=
∫
R
T
(
x
)
[
∂
∂
θ
f
(
x
;
θ
)
]
d
x
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[\int _{\mathbb {R} }T(x)f(x;\theta )\,dx\right]=\int _{\mathbb {R} }T(x)\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]\,dx}
が、右辺が存在する限り成り立つこと。 この条件は、以下のいずれかの場合が成り立つことをもって確認されることが多い： 関数
f
(
x
;
θ
)
{\displaystyle f(x;\theta )}
θ
{\displaystyle \theta }
関数の台 （非ゼロとなる定義域）を持つ。
θ
{\displaystyle \theta }
可積分関数
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
|
T
(
x
)
∂
∂
θ
f
(
x
;
θ
)
|
{\displaystyle \left|T(x){\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right\vert }
|
T
(
x
)
∂
∂
θ
f
(
x
;
θ
)
|
≤
g
(
x
)
(
∀
x
,
∀
θ
)
,
∫
R
g
(
x
)
d
x
<
∞
{\displaystyle \left|T(x){\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right\vert \leq g(x)\quad (\forall x,\forall \theta ),\quad \int _{\mathbb {R} }g(x)\,dx<\infty }
f
(
x
;
θ
)
{\displaystyle f(x;\theta )}
θ
{\displaystyle \theta }
I
(
θ
)
=
E
[
(
∂
∂
θ
ln
f
(
X
;
θ
)
)
2
]
=
∫
R
f
(
x
;
θ
)
1
(
f
(
x
;
θ
)
)
2
(
∂
f
(
x
;
θ
)
∂
θ
)
2
d
x
=
−
∫
R
f
(
x
;
θ
)
f
(
x
;
θ
)
∂
f
(
x
;
θ
)
∂
θ
−
(
∂
f
(
x
;
θ
)
∂
θ
)
2
(
f
(
x
;
θ
)
)
2
d
x
=
−
∫
R
f
(
x
;
θ
)
(
∂
2
∂
θ
2
ln
f
(
x
;
θ
)
)
d
x
=
−
E
[
∂
2
∂
θ
2
ln
f
(
X
;
θ
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f(X;\theta )\right)^{2}\right]\\&=\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta ){\frac {1}{\left(f(x;\theta )\right)^{2}}}\left({\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}\,dx\\&=-\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta ){\frac {f(x;\theta ){\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}-\left({\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}}{\left(f(x;\theta )\right)^{2}}}\,dx\\&=-\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(x;\theta )\right)\,dx\\&=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(X;\theta )\right]\end{aligned}}}
（3番目の等号の箇所で
∫
R
∂
f
(
x
;
θ
)
∂
θ
d
x
=
∂
∂
θ
∫
R
f
(
x
;
θ
)
d
x
=
∂
∂
θ
(
1
)
=
0
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}(1)=0}
であることを用いた）
と変形でき、クラメール・ラオの不等式は次のようにも書ける。
Var
(
θ
^
)
≥
1
I
(
θ
)
=
1
−
E
[
∂
2
∂
θ
2
ln
f
(
X
;
θ
)
]
{\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {1}{I(\theta )}}={\frac {1}{-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(X;\theta )\right]}}}
こちらの公式の方が下限を評価するのにより有用な場合がある。
母数が1つの場合のクラメール・ラオの不等式を一般的に証明する。
X
{\displaystyle X}
f
(
x
;
θ
)
{\displaystyle f(x;\theta )}
確率変数 とし、
T
=
t
(
X
)
{\displaystyle T=t(X)}
X
{\displaystyle X}
θ
{\displaystyle \theta }
ψ
(
θ
)
{\displaystyle \psi (\theta )}
E
[
T
]
=
ψ
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {E} \left[T\right]=\psi (\theta )}
目標は、任意の
θ
{\displaystyle \theta }
Var
(
t
(
X
)
)
≥
[
ψ
′
(
θ
)
]
2
I
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (t(X))\geq {\frac {[\psi ^{\prime }(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}
を示すことである。
V
{\displaystyle V}
V
=
∂
∂
θ
ln
f
(
X
;
θ
)
=
1
f
(
X
;
θ
)
∂
∂
θ
f
(
X
;
θ
)
{\displaystyle V={\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f(X;\theta )={\frac {1}{f(X;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(X;\theta )}
ここで連鎖律 を使った。
V
{\displaystyle V}
E
[
V
]
=
∫
R
f
(
x
;
θ
)
[
1
f
(
x
;
θ
)
∂
∂
θ
f
(
x
;
θ
)
]
d
x
=
∂
∂
θ
∫
R
f
(
x
;
θ
)
d
x
=
∂
∂
θ
(
1
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[V\right]&=\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\left[{\frac {1}{f(x;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]\,dx\\&={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}(1)=0\end{aligned}}}
ここで積分と偏微分の順序が交換可能であること（正規性の条件の2番目）を使った。
V
{\displaystyle V}
T
{\displaystyle T}
共分散
Cov
(
V
,
T
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (V,T)}
E
[
V
]
=
0
{\displaystyle \operatorname {E} \left[V\right]=0}
Cov
(
V
,
T
)
=
E
[
V
T
]
{\displaystyle \operatorname {Cov} (V,T)=\operatorname {E} \left[VT\right]}
Cov
(
V
,
T
)
=
E
[
T
⋅
{
1
f
(
X
;
θ
)
∂
∂
θ
f
(
X
;
θ
)
}
]
=
∫
R
t
(
x
)
[
1
f
(
x
;
θ
)
∂
∂
θ
f
(
x
;
θ
)
]
f
(
x
;
θ
)
d
x
=
∂
∂
θ
[
∫
R
t
(
x
)
f
(
x
;
θ
)
d
x
]
=
∂
∂
θ
E
[
T
]
=
ψ
′
(
θ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} (V,T)&=\operatorname {E} \left[T\cdot \left\{{\frac {1}{f(X;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(X;\theta )\right\}\right]\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }t(x)\left[{\frac {1}{f(x;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]f(x;\theta )\,dx\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[\int _{\mathbb {R} }t(x)f(x;\theta )\,dx\right]={\frac {\partial }{\partial \theta }}\operatorname {E} \left[T\right]=\psi ^{\prime }(\theta )\end{aligned}}}
ここで再び、積分と微分が交換可能であるという条件（正規性の条件の2番目）を使った。
コーシー・シュワルツの不等式 から、
Var
(
T
)
Var
(
V
)
≥
|
Cov
(
V
,
T
)
|
=
|
ψ
′
(
θ
)
|
{\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Var} (T)\operatorname {Var} (V)}}\geq \left|\operatorname {Cov} (V,T)\right|=\left|\psi ^{\prime }(\theta )\right|}
よって
Var
(
T
)
≥
[
ψ
′
(
θ
)
]
2
Var
(
V
)
=
[
ψ
′
(
θ
)
]
2
I
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (T)\geq {\frac {[\psi ^{\prime }(\theta )]^{2}}{\operatorname {Var} (V)}}={\frac {[\psi ^{\prime }(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}
これが示したかったことである。
確率変数列
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}
θ
{\displaystyle \theta }
X
:=
(
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
n
)
{\displaystyle {\boldsymbol {X}}:=(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})}
尤度関数は、結合確率密度関数
f
n
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
;
θ
)
=
f
n
(
x
;
θ
)
{\displaystyle f_{n}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n};\theta )=f_{n}({\boldsymbol {x}};\theta )}
x
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
θ
{\displaystyle \theta }
スコア関数は、尤度関数の自然対数をとってから
θ
{\displaystyle \theta }
∂
∂
θ
ln
f
n
(
x
;
θ
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f_{n}({\boldsymbol {x}};\theta )}
これらはいずれも実数値関数であるので、
I
(
θ
)
=
E
[
(
∂
∂
θ
ln
f
n
(
X
;
θ
)
)
2
]
{\displaystyle I(\theta )=\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f_{n}({\boldsymbol {X}};\theta )\right)^{2}\right]}
となる。 本記事でここまでに述べた事柄は、次の置き換えをすれば基本的に全て同じ形式で成り立つ。
X
→
X
,
x
→
x
,
∫
R
(
⋯
)
d
x
→
∫
R
n
(
⋯
)
d
x
{\displaystyle X\to {\boldsymbol {X}},\quad x\to {\boldsymbol {x}},\quad \int _{\mathbb {R} }(\cdots )\,dx\to \int _{\mathbb {R} ^{n}}(\cdots )\,d{\boldsymbol {x}}}
特に、確率変数列
X
=
(
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
n
)
{\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})}
独立同分布 で、その確率密度関数が
f
(
x
;
θ
)
{\displaystyle f(x;\theta )}
尤度関数は
f
n
(
x
;
θ
)
=
∏
i
=
1
n
f
(
x
i
;
θ
)
{\displaystyle f_{n}({\boldsymbol {x}};\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )}
スコア関数は
∂
∂
θ
ln
f
n
(
x
;
θ
)
=
∑
i
=
1
n
(
∂
∂
θ
ln
f
(
x
i
;
θ
)
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f_{n}({\boldsymbol {x}};\theta )=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f(x_{i};\theta )\right)}
フィッシャー情報量は
I
(
θ
)
=
−
E
[
∂
2
∂
θ
2
ln
f
n
(
X
;
θ
)
]
=
−
E
[
∂
2
∂
θ
2
∑
i
=
1
n
{
ln
f
(
X
i
;
θ
)
}
]
=
−
∑
i
=
1
n
(
E
[
∂
2
∂
θ
2
{
ln
f
(
X
;
θ
)
}
]
)
=
−
n
E
[
∂
2
∂
θ
2
ln
f
(
X
;
θ
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f_{n}({\boldsymbol {X}};\theta )\right]\\&=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\{\ln f(X_{i};\theta )\}\right]\\&=-\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\{\ln f(X;\theta )\}\right]\right)\\&=-n\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(X;\theta )\right]\end{aligned}}}
となる。
平均値ベクトル
μ
(
θ
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {\theta }})}
C
(
θ
)
{\displaystyle {\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {\theta }})}
θ
{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}
d 次元正規分布
N
d
(
μ
(
θ
)
,
C
(
θ
)
)
{\displaystyle N_{d}\left({\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {\theta }}),{\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {\theta }})\right)}
フィッシャー情報行列の成分は[ 9]
I
m
,
k
=
∂
μ
T
∂
θ
m
C
−
1
∂
μ
∂
θ
k
+
1
2
tr
(
C
−
1
∂
C
∂
θ
m
C
−
1
∂
C
∂
θ
k
)
{\displaystyle I_{m,k}={\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}^{T}}{\partial \theta _{m}}}{\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}}{\partial \theta _{k}}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {C}}}{\partial \theta _{m}}}{\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {C}}}{\partial \theta _{k}}}\right)}
ここで "tr" は行列のトレース を表す。
より簡単な例として、平均
θ
{\displaystyle \theta }
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
d
{\displaystyle d}
W
d
{\displaystyle \mathbf {W} _{d}}
W
d
∼
N
d
(
θ
1
,
σ
2
I
)
{\displaystyle \mathbf {W} _{d}\sim N_{d}\left(\theta {\boldsymbol {1}},\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}}\right)}
ここで
1
{\displaystyle {\boldsymbol {1}}}
d 個並べたベクトル、
I
{\displaystyle {\boldsymbol {I}}}
d 次単位行列である。未知母数が1つなのでフィッシャー情報量は
I
(
θ
)
=
(
∂
μ
(
θ
)
∂
θ
)
T
C
−
1
(
∂
μ
(
θ
)
∂
θ
)
=
∑
i
=
1
d
1
σ
2
=
d
σ
2
{\displaystyle I(\theta )=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}(\theta )}{\partial \theta }}\right)^{T}{\boldsymbol {C}}^{-1}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}(\theta )}{\partial \theta }}\right)=\sum _{i=1}^{d}{\frac {1}{\sigma ^{2}}}={\frac {d}{\sigma ^{2}}}}
とスカラーで与えられ、クラメール・ラオの下限は
Var
(
θ
^
)
≥
σ
2
d
{\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {\sigma ^{2}}{d}}}
X
,
{
X
i
}
i
{\displaystyle X,\{X_{i}\}_{i}}
μ
{\displaystyle \mu }
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
正規分布 に従う独立な確率変数（列）だとする。次のような統計量を考えよう：
T
=
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
μ
)
2
n
{\displaystyle T={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{n}}}
このとき
E
[
T
]
=
σ
2
{\displaystyle \operatorname {E} \left[T\right]=\sigma ^{2}}
T
{\displaystyle T}
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
T
{\displaystyle T}
分散 は、
Var
(
T
)
=
Var
(
X
−
μ
)
2
n
=
1
n
[
E
[
(
X
−
μ
)
4
]
−
(
E
[
(
X
−
μ
)
2
]
)
2
]
{\displaystyle \operatorname {Var} (T)={\frac {\operatorname {Var} (X-\mu )^{2}}{n}}={\frac {1}{n}}\left[\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]-\left(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\right)^{2}\right]}
（2番目の等号は分散の定義）。第1項は正規分布の4次の中心モーメント であり、
3
(
σ
2
)
2
{\displaystyle 3(\sigma ^{2})^{2}}
(
σ
2
)
2
{\displaystyle (\sigma ^{2})^{2}}
Var
(
T
)
=
2
(
σ
2
)
2
n
{\displaystyle \operatorname {Var} (T)={\frac {2(\sigma ^{2})^{2}}{n}}}
一方フィッシャー情報量 については、まず、観測1回あたりのスコア関数
V
{\displaystyle V}
L
{\displaystyle L}
V
=
∂
∂
(
σ
2
)
ln
L
(
σ
2
,
X
)
=
∂
∂
(
σ
2
)
ln
[
1
2
π
σ
2
e
−
(
X
−
μ
)
2
/
2
σ
2
]
=
(
X
−
μ
)
2
2
(
σ
2
)
2
−
1
2
σ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\partial }{\partial (\sigma ^{2})}}\ln L(\sigma ^{2},X)\\&={\frac {\partial }{\partial (\sigma ^{2})}}\ln \left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(X-\mu )^{2}/{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {(X-\mu )^{2}}{2(\sigma ^{2})^{2}}}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}
最後の等号は簡単な計算でわかる。この情報量は、
V
{\displaystyle V}
I
=
−
E
[
∂
V
∂
(
σ
2
)
]
=
−
E
[
−
(
X
−
μ
)
2
(
σ
2
)
3
+
1
2
(
σ
2
)
2
]
=
σ
2
(
σ
2
)
3
−
1
2
(
σ
2
)
2
=
1
2
(
σ
2
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}I&=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial V}{\partial (\sigma ^{2})}}\right]=-\operatorname {E} \left[-{\frac {(X-\mu )^{2}}{(\sigma ^{2})^{3}}}+{\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}\right]\\&={\frac {\sigma ^{2}}{(\sigma ^{2})^{3}}}-{\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}={\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}\end{aligned}}}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
I
n
=
n
2
(
σ
2
)
2
{\displaystyle I_{n}={\frac {n}{2(\sigma ^{2})^{2}}}}
クラメール・ラオの不等式は
Var
(
T
)
≥
1
I
n
{\displaystyle \operatorname {Var} (T)\geq {\frac {1}{I_{n}}}}
有効 （英語版 ）
不偏でない推定量を用いれば、分散及び平均二乗誤差をより小さくすることもできる。例えば
T
b
=
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
μ
)
2
n
+
2
{\displaystyle T_{b}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{n+2}}}
Var
(
T
b
)
=
2
n
(
σ
2
)
2
(
n
+
2
)
2
<
Var
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (T_{b})={\frac {2n(\sigma ^{2})^{2}}{(n+2)^{2}}}<\operatorname {Var} (T)}
ここで偏りは
−
b
(
σ
2
)
=
σ
2
−
E
[
T
b
]
=
(
1
−
n
n
+
2
)
σ
2
=
2
σ
2
n
+
2
{\displaystyle -b(\sigma ^{2})=\sigma ^{2}-\operatorname {E} [T_{b}]=\left(1-{\frac {n}{n+2}}\right)\sigma ^{2}={\frac {2\sigma ^{2}}{n+2}}}
MSE
(
T
b
)
=
(
2
n
(
n
+
2
)
2
+
4
(
n
+
2
)
2
)
(
σ
2
)
2
=
2
(
σ
4
)
n
+
2
{\displaystyle \operatorname {MSE} (T_{b})=\left({\frac {2n}{(n+2)^{2}}}+{\frac {4}{(n+2)^{2}}}\right)(\sigma ^{2})^{2}={\frac {2(\sigma ^{4})}{n+2}}}
となる。こちらも不偏推定量のときの
MSE
(
T
)
=
(
2
(
σ
2
)
2
n
+
0
)
(
σ
2
)
2
=
2
(
σ
4
)
n
{\displaystyle \operatorname {MSE} (T)=\left({\frac {2(\sigma ^{2})^{2}}{n}}+0\right)(\sigma ^{2})^{2}={\frac {2(\sigma ^{4})}{n}}}
を下回っている。
正規母集団の平均も分散も未知の場合、分散の推定量の平均二乗誤差が最小になるのは、
X
¯
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
X
i
)
{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i})}
T
n
+
1
=
1
n
+
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
{\displaystyle T_{n+1}={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}}
のときである（分母が n − 1 や n + 2 のときではない）。
^ Cramér, Harald (1946). Mathematical Methods of Statistics . Princeton, NJ: Princeton Univ. Press. ISBN 0-691-08004-6 . OCLC 185436716 ^ Rao, Calyampudi Radakrishna (1945). “Information and the accuracy attainable in the estimation of statistical parameters”. Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 37 : 81–89. MR 0015748 . ^ Rao, Calyampudi Radakrishna (1994). S. Das Gupta. ed. Selected Papers of C. R. Rao . New York: Wiley. ISBN 978-0-470-22091-7 . OCLC 174244259 ^ Darmois, Georges (1945). “Sur les limites de la dispersion de certaines estimations”. Rev. Int. Inst. Statist. 13 : 9–15. ^ Fréchet, Maurice (1943). “Sur l'extension de certaines évaluations statistiques au cas de petit échantillons”. Rev. Inst. Int. Statist. 11 : 182–205. ^ Gart, John J. (1958). “An extension of the Cramér–Rao inequality”. Ann. Math. Stat. 29 : 367–380. ^ Malécot, Gustave (1999). “Statistical methods and the subjective basis of scientific knowledge [translated from Année X 1947 by Daniel Gianola]”. Genet. Sel. Evol. 31 : 269–298. ^ For the Bayesian case, see eqn. (11) of Bobrovsky; Mayer-Wolf; Zakai (1987). “Some classes of global Cramer–Rao bounds”. Ann. Stat. 15 (4): 1421–38.
^ Kay, S. M. (1993). Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory . Prentice Hall. p. 47. ISBN 0-13-042268-1
Bos, Adriaan van den (2007). Parameter Estimation for Scientists and Engineers . Hoboken: John Wiley & Sons . pp. 45–98. ISBN 0-470-14781-4 Kay, Steven M. (1993). Fundamentals of Statistical Signal Processing, Volume I: Estimation Theory . Prentice Hall. ISBN 0-13-345711-7 Shao, Jun (1998). Mathematical Statistics . New York: Springer . ISBN 0-387-98674-X 
![{\displaystyle I(\theta )=\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial \ell (X;\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5872142e5c8ef87b2a5fadb8ad347ad05ccea1)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[T(X)\right]=\psi (\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04644246a16192b671fb9faa23411d3d9a970881)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (T)\geq {\frac {[\psi '(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9598e0faa4e0af6df574dab1b607aa3ed76e78ee)
![{\displaystyle b(\theta )=\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]-\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da54579c77c5ff3f92c0780adf15c66349e6370f)
![{\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {[1+b'(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7308ec6dbe616c805ede8a23c6601f04562c1)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]\geq {\frac {[1+b'(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}+b(\theta )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f3dda36583dc8cdb1e59d9879c379d73400b93)
![{\displaystyle \operatorname {MSE} ({\hat {\theta }}):=\operatorname {E} \left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]\right)^{2}\right]+\left(\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe73dd9a9f30341046936d85de3a5faa9c09834)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{m,k}&=\operatorname {E} \left[{\frac {\partial }{\partial \theta _{m}}}\ln f\left(x;{\boldsymbol {\theta }}\right){\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\ln f\left(x;{\boldsymbol {\theta }}\right)\right]\\&=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta _{m}\partial \theta _{k}}}\ln f\left(x;{\boldsymbol {\theta }}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28bb94094f1c41d22aaa14590e3d8383ed92911)
![{\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {T}}(X)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b5d13a494f822b3bd79f28275162580970dad7)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} \left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\geq {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}\left({\boldsymbol {\theta }}\right)}{\partial {\boldsymbol {\theta }}}}\left([I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)]^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}\left({\boldsymbol {\theta }}\right)}{\partial {\boldsymbol {\theta }}}}\right)^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef0f6d2405efc55c754739302b251a6d57b9bdb)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (T_{m}(X))=\left[\operatorname {Cov} \left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\right]_{mm}\geq \left[I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)^{-1}\right]_{mm}\geq \left(\left[I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)\right]_{mm}\right)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61e88c482d5a2aaadc4af197417777b547b84c8)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[\int _{\mathbb {R} }T(x)f(x;\theta )\,dx\right]=\int _{\mathbb {R} }T(x)\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7028faea3b859ed3c5cbfb550f58aa232e813416)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f(X;\theta )\right)^{2}\right]\\&=\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta ){\frac {1}{\left(f(x;\theta )\right)^{2}}}\left({\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}\,dx\\&=-\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta ){\frac {f(x;\theta ){\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}-\left({\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}}{\left(f(x;\theta )\right)^{2}}}\,dx\\&=-\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(x;\theta )\right)\,dx\\&=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(X;\theta )\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b59740fcf8ec009be5beb18d93a9c29f5f8ea67)
![{\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {1}{I(\theta )}}={\frac {1}{-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(X;\theta )\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be536bd0edc1f8f321eb8377236a9728baf86a51)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[T\right]=\psi (\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9201b93f27a4f4f52f29d13db6469764140a1cca)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (t(X))\geq {\frac {[\psi ^{\prime }(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae7e8cb92bc1baf5a862ba8817cabd7cb4752f8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[V\right]&=\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\left[{\frac {1}{f(x;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]\,dx\\&={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}(1)=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ed681b3795729741f46d0911b12084a3d15346)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[V\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcbca38967d474fe79f8f063c629689ade1f059a)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} (V,T)=\operatorname {E} \left[VT\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2991a81e9c8b0cace758400be84e8140f4aa71)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} (V,T)&=\operatorname {E} \left[T\cdot \left\{{\frac {1}{f(X;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(X;\theta )\right\}\right]\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }t(x)\left[{\frac {1}{f(x;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]f(x;\theta )\,dx\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[\int _{\mathbb {R} }t(x)f(x;\theta )\,dx\right]={\frac {\partial }{\partial \theta }}\operatorname {E} \left[T\right]=\psi ^{\prime }(\theta )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad26ec7b45004f4b57df4727430d2c03ac54ded)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (T)\geq {\frac {[\psi ^{\prime }(\theta )]^{2}}{\operatorname {Var} (V)}}={\frac {[\psi ^{\prime }(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3993f230fea08cba8b549cba9defff4ed56d99)
![{\displaystyle I(\theta )=\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f_{n}({\boldsymbol {X}};\theta )\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c127e07ee4c468b624a4a629aca4c1e51c3bc0e8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f_{n}({\boldsymbol {X}};\theta )\right]\\&=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\{\ln f(X_{i};\theta )\}\right]\\&=-\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\{\ln f(X;\theta )\}\right]\right)\\&=-n\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(X;\theta )\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0548b4a1aaaa0cf9ec4051dd053d53cbf3acef6)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[T\right]=\sigma ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06331f26aa22706c686c81e17709b7682d0fa11)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (T)={\frac {\operatorname {Var} (X-\mu )^{2}}{n}}={\frac {1}{n}}\left[\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]-\left(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85e0040efe1234d50e77c030aa92b8d50e6ae36)
![{\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\partial }{\partial (\sigma ^{2})}}\ln L(\sigma ^{2},X)\\&={\frac {\partial }{\partial (\sigma ^{2})}}\ln \left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(X-\mu )^{2}/{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {(X-\mu )^{2}}{2(\sigma ^{2})^{2}}}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be234ea1d30ebd97ca6f55d726de8aff6a051803)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial V}{\partial (\sigma ^{2})}}\right]=-\operatorname {E} \left[-{\frac {(X-\mu )^{2}}{(\sigma ^{2})^{3}}}+{\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}\right]\\&={\frac {\sigma ^{2}}{(\sigma ^{2})^{3}}}-{\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}={\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d264dad707e10f18a2f6e18036d0c4b61be0048d)
![{\displaystyle -b(\sigma ^{2})=\sigma ^{2}-\operatorname {E} [T_{b}]=\left(1-{\frac {n}{n+2}}\right)\sigma ^{2}={\frac {2\sigma ^{2}}{n+2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82e9dd4800e95a5b5267221f0bcaa9482876d30)
