複素解析 におけるガウスの連分数 （ガウスのれんぶんすう、英 : Gauss's continued fraction ）は、超幾何関数 から導出される特別なクラスの一般化連分数 （英語版 ） 初等関数 およびより複雑な超越関数 の表現に用いることができる。
ヨハン・ハインリヒ・ランベルト はこの形式の連分数のいくつかの例を1768年に発表し、またレオンハルト・オイラー とジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ は同様の構造についての研究を行った[ 1] カール・フリードリヒ・ガウス であった（1813年）[ 2]
ガウスは連分数の形式を与えはしたが、その収束性についての証明は与えなかった。ベルンハルト・リーマン [ 3] [ 4] エドワード・ヴァン・ヴレック （英語版 ） [ 5]
f
0
,
f
1
,
f
2
,
…
{\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\dots }
解析関数 の列で、任意の
i
>
0
{\displaystyle i>0}
f
i
−
1
−
f
i
=
k
i
z
f
i
+
1
{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}}
を満たすものとする。ここで各
k
i
{\displaystyle k_{i}}
このとき
f
i
−
1
f
i
=
1
+
k
i
z
f
i
+
1
f
i
,
and so
f
i
f
i
−
1
=
1
1
+
k
i
z
f
i
+
1
f
i
{\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\text{ and so }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}}
g
i
=
f
i
/
f
i
−
1
{\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1}}
g
i
=
1
1
+
k
i
z
g
i
+
1
{\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}}}
より、
g
1
=
f
1
f
0
=
1
1
+
k
1
z
g
2
=
1
1
+
k
1
z
1
+
k
2
z
g
3
=
1
1
+
k
1
z
1
+
k
2
z
1
+
k
3
z
g
4
=
⋯
.
{\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\ }
これを無限に続けると、連分数展開
f
1
f
0
=
1
1
+
k
1
z
1
+
k
2
z
1
+
k
3
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}
が得られる。
ガウスの連分数では、関数列
f
i
{\displaystyle f_{i}}
0
F
1
{\displaystyle {}_{0}F_{1}}
1
F
1
{\displaystyle {}_{1}F_{1}}
2
F
1
{\displaystyle {}_{2}F_{1}}
f
i
−
1
−
f
i
=
k
i
z
f
i
+
1
{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}
恒等式 から生じる。これらの恒等式は、級数展開をして係数を比較したり、何度か微分して消えることを確かめるといった方法で示すことができる。
最も簡単なものは、関数
0
F
1
(
a
;
z
)
=
1
+
1
a
1
!
z
+
1
a
(
a
+
1
)
2
!
z
2
+
1
a
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
3
!
z
3
+
⋯
{\displaystyle \,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }
を使った恒等式
0
F
1
(
a
−
1
;
z
)
−
0
F
1
(
a
;
z
)
=
z
a
(
a
−
1
)
0
F
1
(
a
+
1
;
z
)
{\displaystyle \,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(a+1;z)}
から始めるもので、
f
i
=
0
F
1
(
a
+
i
;
z
)
,
k
i
=
1
(
a
+
i
)
(
a
+
i
−
1
)
{\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}}}
と置けば次の展開が得られる。
0
F
1
(
a
+
1
;
z
)
0
F
1
(
a
;
z
)
=
1
1
+
1
a
(
a
+
1
)
z
1
+
1
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
z
1
+
1
(
a
+
2
)
(
a
+
3
)
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}
または
0
F
1
(
a
+
1
;
z
)
a
0
F
1
(
a
;
z
)
=
1
a
+
z
(
a
+
1
)
+
z
(
a
+
2
)
+
z
(
a
+
3
)
+
⋱
{\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}}}}}}}
これらの展開は、2つの収束級数の比による有理型関数 に収束する（ただし当然、a は0や負の整数であってはいけない）。
次は、関数
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
1
+
a
b
1
!
z
+
a
(
a
+
1
)
b
(
b
+
1
)
2
!
z
2
+
a
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
b
(
b
+
1
)
(
b
+
2
)
3
!
z
3
+
⋯
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }
から生じる2通りの恒等式
1
F
1
(
a
;
b
−
1
;
z
)
−
1
F
1
(
a
+
1
;
b
;
z
)
=
(
a
−
b
+
1
)
z
b
(
b
−
1
)
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
1
;
z
)
{\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}
1
F
1
(
a
;
b
−
1
;
z
)
−
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
a
z
b
(
b
−
1
)
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
1
;
z
)
{\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}
を交互に用いて、
f
0
(
z
)
=
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
,
{\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),}
f
1
(
z
)
=
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
1
;
z
)
,
{\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}
f
2
(
z
)
=
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
2
;
z
)
,
{\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}
f
3
(
z
)
=
1
F
1
(
a
+
2
;
b
+
3
;
z
)
,
{\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}
f
4
(
z
)
=
1
F
1
(
a
+
2
;
b
+
4
;
z
)
{\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z)}
…と置く。これより恒等式群
f
i
−
1
−
f
i
=
k
i
z
f
i
+
1
{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}
k
1
=
a
−
b
b
(
b
+
1
)
,
k
2
=
a
+
1
(
b
+
1
)
(
b
+
2
)
,
k
3
=
a
−
b
−
1
(
b
+
2
)
(
b
+
3
)
,
k
4
=
a
+
2
(
b
+
3
)
(
b
+
4
)
{\displaystyle k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+4)}}}
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
1
;
z
)
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
1
1
+
a
−
b
b
(
b
+
1
)
z
1
+
a
+
1
(
b
+
1
)
(
b
+
2
)
z
1
+
a
−
b
−
1
(
b
+
2
)
(
b
+
3
)
z
1
+
a
+
2
(
b
+
3
)
(
b
+
4
)
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
または
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
1
;
z
)
b
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
1
b
+
(
a
−
b
)
z
(
b
+
1
)
+
(
a
+
1
)
z
(
b
+
2
)
+
(
a
−
b
−
1
)
z
(
b
+
3
)
+
(
a
+
2
)
z
(
b
+
4
)
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}
同様に
1
F
1
(
a
;
b
+
1
;
z
)
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
1
1
+
a
b
(
b
+
1
)
z
1
+
a
−
b
−
1
(
b
+
1
)
(
b
+
2
)
z
1
+
a
+
1
(
b
+
2
)
(
b
+
3
)
z
1
+
a
−
b
−
2
(
b
+
3
)
(
b
+
4
)
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
または
1
F
1
(
a
;
b
+
1
;
z
)
b
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
1
b
+
a
z
(
b
+
1
)
+
(
a
−
b
−
1
)
z
(
b
+
2
)
+
(
a
+
1
)
z
(
b
+
3
)
+
(
a
−
b
−
2
)
z
(
b
+
4
)
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a-b-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}
1
F
1
(
0
;
b
;
z
)
=
1
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(0;b;z)=1}
a を0と置き、b + 1 を b で置き換えると次の単純化された特別な連分数が得られる。
1
F
1
(
1
;
b
;
z
)
=
1
1
+
−
z
b
+
z
(
b
+
1
)
+
−
b
z
(
b
+
2
)
+
2
z
(
b
+
3
)
+
−
(
b
+
1
)
z
(
b
+
4
)
+
⋱
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}
最後は
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
1
+
a
b
c
1
!
z
+
a
(
a
+
1
)
b
(
b
+
1
)
c
(
c
+
1
)
2
!
z
2
+
a
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
b
(
b
+
1
)
(
b
+
2
)
c
(
c
+
1
)
(
c
+
2
)
3
!
z
3
+
⋯
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }
から、再び2つの恒等式を交互に用いる。
2
F
1
(
a
,
b
;
c
−
1
;
z
)
−
2
F
1
(
a
+
1
,
b
;
c
;
z
)
=
(
a
−
c
+
1
)
b
z
c
(
c
−
1
)
2
F
1
(
a
+
1
,
b
+
1
;
c
+
1
;
z
)
{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}
2
F
1
(
a
,
b
;
c
−
1
;
z
)
−
2
F
1
(
a
,
b
+
1
;
c
;
z
)
=
(
b
−
c
+
1
)
a
z
c
(
c
−
1
)
2
F
1
(
a
+
1
,
b
+
1
;
c
+
1
;
z
)
{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}
これら2式は a と b の入れ替えに対し本質的に不変である。
f
0
(
z
)
=
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
,
{\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}
f
1
(
z
)
=
2
F
1
(
a
+
1
,
b
;
c
+
1
;
z
)
,
{\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}
f
2
(
z
)
=
2
F
1
(
a
+
1
,
b
+
1
;
c
+
2
;
z
)
,
{\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),}
f
3
(
z
)
=
2
F
1
(
a
+
2
,
b
+
1
;
c
+
3
;
z
)
,
{\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),}
f
4
(
z
)
=
2
F
1
(
a
+
2
,
b
+
2
;
c
+
4
;
z
)
,
{\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}
…とおく。これより恒等式群
f
i
−
1
−
f
i
=
k
i
z
f
i
+
1
{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}
k
1
=
(
a
−
c
)
b
c
(
c
+
1
)
,
k
2
=
(
b
−
c
−
1
)
(
a
+
1
)
(
c
+
1
)
(
c
+
2
)
,
k
3
=
(
a
−
c
−
1
)
(
b
+
1
)
(
c
+
2
)
(
c
+
3
)
,
k
4
=
(
b
−
c
−
2
)
(
a
+
2
)
(
c
+
3
)
(
c
+
4
)
{\displaystyle k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}}
2
F
1
(
a
+
1
,
b
;
c
+
1
;
z
)
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
1
1
+
(
a
−
c
)
b
c
(
c
+
1
)
z
1
+
(
b
−
c
−
1
)
(
a
+
1
)
(
c
+
1
)
(
c
+
2
)
z
1
+
(
a
−
c
−
1
)
(
b
+
1
)
(
c
+
2
)
(
c
+
3
)
z
1
+
(
b
−
c
−
2
)
(
a
+
2
)
(
c
+
3
)
(
c
+
4
)
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
または
2
F
1
(
a
+
1
,
b
;
c
+
1
;
z
)
c
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
1
c
+
(
a
−
c
)
b
z
(
c
+
1
)
+
(
b
−
c
−
1
)
(
a
+
1
)
z
(
c
+
2
)
+
(
a
−
c
−
1
)
(
b
+
1
)
z
(
c
+
3
)
+
(
b
−
c
−
2
)
(
a
+
2
)
z
(
c
+
4
)
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(a-c)bz}{(c+1)+{\cfrac {(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+{\cfrac {(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}
2
F
1
(
0
,
b
;
c
;
z
)
=
1
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1}
a を 0 と置き、c + 1 を c で置き換えると次の単純化された特別な連分数が得られる。
2
F
1
(
1
,
b
;
c
;
z
)
=
1
1
+
−
b
z
c
+
(
b
−
c
)
z
(
c
+
1
)
+
−
c
(
b
+
1
)
z
(
c
+
2
)
+
2
(
b
−
c
−
1
)
z
(
c
+
3
)
+
−
(
c
+
1
)
(
b
+
2
)
z
(
c
+
4
)
+
⋱
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}
この節では、1個以上のパラメータが負の整数である場合は考えないことにする。そのような場合、超幾何関数は定義されないか、または多項式 に退化するために連分数展開が有限回で止まるからである。その他の自明な状況も排除するものとする。
0
F
1
{\displaystyle {}_{0}F_{1}}
1
F
1
{\displaystyle {}_{1}F_{1}}
有理型関数 になる。右辺の連分数は極 を含まない任意の閉 で有界 な集合上一様に収束 する[ 6]
2
F
1
{\displaystyle {}_{2}F_{1}}
円板の外部では、連分数は +1 から無限遠点 までを除いた実軸に沿って解析接続 された関数を表す。+1 が分岐点 、+1 から無限遠点への実軸上の半直線が分岐截線 とされることが多い。右辺の連分数はこの領域で有理型関数へ収束し、また極を含まない任意の有界閉集合上で収束は一様である[ 7]
cosh
(
z
)
=
0
F
1
(
1
2
;
z
2
4
)
{\displaystyle \cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}
sinh
(
z
)
=
z
0
F
1
(
3
2
;
z
2
4
)
{\displaystyle \sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}
より、
tanh
(
z
)
=
z
0
F
1
(
3
2
;
z
2
4
)
0
F
1
(
1
2
;
z
2
4
)
=
z
/
2
1
2
+
z
2
4
3
2
+
z
2
4
5
2
+
z
2
4
7
2
+
⋱
=
z
1
+
z
2
3
+
z
2
5
+
z
2
7
+
⋱
{\displaystyle \tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2}{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+{}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}}
この展開は特にランベルトの連分数 として知られており、初出は1768年にまで遡る[ 8]
これより次式がすぐに従う。
tan
(
z
)
=
z
1
−
z
2
3
−
z
2
5
−
z
2
7
−
⋱
{\displaystyle \tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}}
tanh の展開は、ネイピア数 の任意の整数乗 e n 無理数 であることを証明するのに使うことができる（しかし残念なことに、e が超越数 であることを証明するのには力不足である）。tan の展開はランベルトとアドリアン＝マリ・ルジャンドル によって円周率の無理性の証明 に用いられた。
ベッセル関数
J
ν
{\displaystyle J_{\nu }}
J
ν
(
z
)
=
(
1
2
z
)
ν
Γ
(
ν
+
1
)
0
F
1
(
ν
+
1
;
−
z
2
4
)
{\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}})}
これより、
J
ν
(
z
)
J
ν
−
1
(
z
)
=
z
2
ν
−
z
2
2
(
ν
+
1
)
−
z
2
2
(
ν
+
2
)
−
z
2
2
(
ν
+
3
)
−
⋱
{\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}}
これらの等式は全ての複素数 z に対し成り立つ。
e
z
=
1
F
1
(
1
;
1
;
z
)
{\displaystyle e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)}
1
/
e
z
=
e
−
z
{\displaystyle 1/e^{z}=e^{-z}}
e
z
=
1
1
+
−
z
1
+
z
2
+
−
z
3
+
2
z
4
+
−
2
z
5
+
⋱
{\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}
e
z
=
1
+
z
1
+
−
z
2
+
z
3
+
−
2
z
4
+
2
z
5
+
⋱
{\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{\cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}
これを使って少し計算すると、e の簡単な連分数表示が得られる。
e
=
2
+
1
1
+
1
2
+
1
1
+
1
1
+
1
4
+
⋱
{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}
次式で与えられる誤差関数 erf (z )
erf
(
z
)
=
2
π
∫
0
z
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt}
もまた、クンマー の超幾何関数として
erf
(
z
)
=
2
z
π
e
−
z
2
1
F
1
(
1
;
3
2
;
z
2
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2})}
と計算でき、ガウスの連分数表示を用いると全ての z に対し成り立つ有用な公式が得られる[ 9]
π
2
e
z
2
erf
(
z
)
=
z
1
−
z
2
3
2
+
z
2
5
2
−
3
2
z
2
7
2
+
2
z
2
9
2
−
5
2
z
2
11
2
+
3
z
2
13
2
−
7
2
z
2
15
2
+
−
⋱
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}
同様の議論によってフレネル積分 、ドーソン関数 （英語版 ） 不完全ガンマ関数 に対する連分数展開表示が得られる。簡易化版の議論からは指数関数 の2通りの有用な連分数展開表示が得られる[ 10]
(
1
−
z
)
−
b
=
1
F
0
(
b
;
;
z
)
=
2
F
1
(
1
,
b
;
1
;
z
)
,
{\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),}
(
1
−
z
)
−
b
=
1
1
+
−
b
z
1
+
(
b
−
1
)
z
2
+
−
(
b
+
1
)
z
3
+
2
(
b
−
2
)
z
4
+
⋱
{\displaystyle (1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}
から、arctan z の0を中心としたテイラー展開 が容易に求まる。
arctan
z
=
z
F
(
1
2
,
1
;
3
2
;
−
z
2
)
{\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2})}
これにガウスの連分数表示を用いると、展開
arctan
z
=
z
1
+
(
1
z
)
2
3
+
(
2
z
)
2
5
+
(
3
z
)
2
7
+
(
4
z
)
2
9
+
⋱
{\displaystyle \arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
が得られる。この展開は、虚軸上 i から無限遠点まで、−i から無限遠点までが切り取られた複素平面において逆正接関数の主枝 (数学) （英語版 ） [ 11]
この連分数は z = 1 で非常に高速に収束し、第9番目までの展開で π/4 の値を小数第7位まで与える。対応する級数
π
4
=
1
1
+
1
2
2
+
3
2
2
+
5
2
2
+
⋱
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
±
⋯
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots }
の収束は非常に遅く、小数第7位まで正確に計算するには百万項以上を必要とする[ 12]
これと同様の論法で、自然対数 、逆正弦関数 、一般化二項級数 といった関数の連分数表示が得られる。
^ Jones & Thron (1980) p. 5
^ C. F. Gauss (1813), Werke , vol. 3
^ B. Riemann (1863), "Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita"（『2つの超幾何級数の比の、無限連分数の形での展開について』） in Werke . pp. 400–406. (Posthumous fragment).
^ L. W. Thomé (1867), "Über die Kettenbruchentwicklung des Gauß'schen Quotienten ...,"（『ガウスの比の連分数展開については…』） Jour. für Math. vol. 67 pp. 299–309.
^ E. B. Van Vleck (1901), "On the convergence of the continued fraction of Gauss and other continued fractions." Annals of Mathematics , vol. 3 pp. 1–18.
^ Jones & Thron (1980) p. 206
^ Wall, 1973 (p. 339)
^ Wall (1973) p. 349.
^ Jones & Thron (1980) p. 208.
^ パデ表 （英語版 ） ez の連分数展開例を参照。^ Wall (1973) p. 343. i と −i が逆正接の分岐点であることに注意。
^ Jones & Thron (1980) p. 202.
Jones, William B.; Thron, W. J. (1980). Continued Fractions: Theory and Applications . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. pp. 198–214. ISBN 0-201-13510-8 Wall, H. S. (1973). Analytic Theory of Continued Fractions . Chelsea Publishing Company. pp. 335–361. ISBN 0-8284-0207-8 (This is a reprint of the volume originally published by D. Van Nostrand Company, Inc., in 1948.) Weisstein, Eric W. "Gauss's Continued Fraction" . mathworld.wolfram.com (英語). 
