エントロピー最大化モデル

エントロピー最大化モデル（エントロピーさいだいかモデル、英語: Entropy Maximising Models）は、アラン・G・ウィルソンにより導出された空間的相互作用モデルである。このモデルではエントロピーの概念が使用されており、モデル式は統計力学的な方法で、パーソントリップを分子運動のように捉えて導かれた。また、このモデルが重力モデルの理論的な根拠を説明したことで、重力モデルの問題点の一部が解消された。

モデル式

発生―吸収制約モデル、発生制約モデル、吸収制約モデルの場合について、モデル式は以下のように表される。

発生―吸収制約モデルの場合

$T_{ij}=A_{i}B_{j}O_{i}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})$

(1)

ただし$A_{i}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}B_{j}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})}}$ $B_{j}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}A_{i}O_{i}\exp(-\beta d_{ij})}}$

発生制約モデルの場合

$T_{ij}=A_{i}O_{i}{W_{j}}^{\gamma }\exp(-\beta d_{ij})$

(2)

ただし$A_{i}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}{W_{j}}^{\gamma }\exp(-\beta d_{ij})}}$

吸収制約モデルの場合

$T_{ij}=B_{j}{V_{i}}^{\alpha }D_{j}\exp(-\beta d_{ij})$

(3)

ただし$B_{j}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}{V_{i}}^{\alpha }\exp(-\beta d_{ij})}}$

導出

発生―吸収制約モデルの場合の導出を以下に示す。

発地を$m$個、着地を$n$個、流動数の総和を$T$、地域$i$から地域$j$への流動を$T_{ij}$とする。このときの流動パターンを考え、流動量が最多となる場合の発着地の組合せを把握したい。このときの制約条件は以下の通りである（ただし$C$は総移動費用）。

$\sum _{j=1}^{n}T_{ij}=O_{i}$

(4)

$\sum _{i=1}^{m}T_{ij}=D_{j}$

(5)

$\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}T_{ij}d_{ij}=C$

(6)

ここでは$T$を$T_{ij}$に分配する、場合の数$W(T_{ij})$の最大値の決定を行えばよい。このとき、

${\begin{aligned}W(T_{ij})&={\binom {T}{T_{11}}}{\binom {T-T_{11}}{T_{12}}}{\binom {T-T_{11}-T_{12}}{T_{13}}}\cdots {\binom {T-T_{11}-T_{12}-\cdots -T_{mn-1}}{T_{mn}}}\\&={\frac {T!}{T_{11}!(T-T_{11})!}}\cdot {\frac {(T-T_{11})!}{T_{12}!(T-T_{11}-T_{12})!}}\cdots {\frac {(T-T_{11}-T_{12}-\cdots -T_{mn-1})!}{T_{mn}!0!}}\\&={\frac {T!}{\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{n}{T_{ij}!}}}\end{aligned}}$

(7)

が成立する。ここで、最大値の導出のために、式(7)の両辺を自然対数変換すると以下の式が得られる。

$\ln W(T_{ij})=\ln T!-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\ln {T_{ij}!}}$

(8)

ここで、スターリング近似により、$T$が十分に大きいとき$\ln T_{ij}!\approx T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij}$が成り立つため

$\ln W(T_{ij})=T\ln T-T-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij})$

(9)

が導かれる。よって、$\ln W(T_{ij})$の最大化を目標としていく。その際、ラグランジュの未定乗数法を用いる。$\lambda _{i}$は式(4)、$\gamma _{j}$は式(5)、$\beta$は式(6)のラグランジュ乗数とするとき、ラグランジュ関数$L$は

$L=T\ln T-T-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij})+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}(O_{i}-\sum _{j=1}^{n}T_{ij})+\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}(D_{j}-\sum _{i=1}^{m},T_{ij})+\beta (C-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}T_{ij}d_{ij})$

(10)

となる。ここで、$L$の最大値を与える$T_{ij}$は、偏微分方程式${\frac {\partial L}{\partial T_{ij}}}=0$を解くことで求められる。よって、以下の式が成り立つ。

${\frac {\partial L}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\gamma _{j}-\beta d_{ij}=0$

(11)

式変形すると、以下の式が得られる。

$T_{ij}=\exp(-\lambda _{i}-\gamma _{j}-\beta d_{ij})$

(12)

さらに式変形すると、以下の式が得られる。

$T_{ij}={\frac {O_{i}}{\sum _{j=1}^{n}\exp(-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}}\cdot {\frac {D_{j}}{\sum _{i=1}^{m}\exp(-\lambda _{i}-\beta d_{ij})}}\cdot \beta d_{ij}$

(13)

が得られる。このとき、

$A_{i}={\frac {\exp(-\lambda _{i})}{O_{i}}}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}\exp(-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}}$

(14)

$B_{j}={\frac {\exp(-\gamma _{j})}{D_{j}}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}\exp(-\lambda _{i}-\beta d_{ij})}}$

(15)

とおくと、式(13)は

$T_{ij}=A_{i}B_{j}O_{i}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})$

(16)

と表示でき、発生―吸収制約モデルのときのエントロピー最大化空間的相互作用モデルが導かれた。

この他、発生制約モデルの場合は式(4)・式(6)を、吸収制約モデルの場合は式(5)・式(6)を、無制約モデルの場合は式(6)を制約条件として使用することで導出できる。

参考文献

• 石川義孝『空間的相互作用モデル―その系譜と体系―』地人書房、1988年。ISBN 4-88501-061-6。 
• 高阪宏行「空間的相互作用モデルとその展開」『人文地理学研究』第3巻、1979年、1-11頁。 
• 杉浦芳夫 著「空間的相互作用モデルの近年の展開」、野上道男、杉浦芳夫 編『パソコンによる数理地理学演習』古今書院、1986年、138-185頁。ISBN 4-7722-1366-X。 
• 張長平「空間的相互作用による地域間の人口移動分析―在日中国人を事例として―」『国際地域学研究』第14巻、2011年、1-13頁。 
• 村山祐司 著「地域間の流動をみいだす」、村山祐司・駒木伸比古 編『新版 地域分析』古今書院、2013年、159-170頁。ISBN 978-4-7722-5272-0。