イマナント

数学における行列のイマナント（英: Immanant）は Littlewood & Richardson (1934) が行列式 (determinant) およびパーマネント (permanent) の概念を一般化するものとして導入した。

$λ ≔ (λ 1, λ 2, \dots)$ を $n$ の分割、 $χ λ$ を対称群 $S n$ の表現論的指標とするとき、 $n \times n$ 行列 $A ≔ (a ij)$ の指標 $χ λ$ に付随する「イマナント」は、 $\operatorname {Imm} _{\lambda }(A):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}$ で定義される。

行列式はイマナントの特別の場合で、 $χ λ$ として（置換の符号によって定義される） $S n$ の交代指標をとったものである。
パーマネントは $χ λ$ として自明指標（英語版）（恒等的に $1$ に等しい）をとった場合である。

例えば、 $3 \times 3$ 行列の場合に、 $S 3$ の既約表現は以下の指標標の如く三つある:

$S 3$	$e$	$(1 2)$	$(1 2 3)$
$χ 1$	$1$	$1$	$1$
$χ 2$	$1$	$-1$	$1$
$χ 3$	$2$	$0$	$-1$

既に述べた通り、 $χ 1$ はパーマネントを $χ 2$ は行列式を与える。そして $χ 3$ は ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}$ と写される演算を定義する。

Littlewood & Richardson (1934) は対称群の表現論（英語版）におけるシューア函数との関係も調べている。

参考文献

Littlewood, D. E.; Richardson, A. R. (1934), “Group characters and algebras”, Philosophical Transactions of the Royal Society A 233 (721–730): 99–124, doi:10.1098/rsta.1934.0015
Littlewood, D. E. (1950). The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (2nd ed.). Oxford Univ. Press (reprinted by AMS, 2006). p. 81

外部リンク