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ローレンツ力(ローレンツりょく、英: Lorentz force)は、電磁場中で運動する荷電粒子が受ける力のことである。
名前はヘンドリック・ローレンツに由来する。
電場
と磁束密度(磁場)
の空間中を運動する荷電粒子(位置
、速度
、電荷
)に作用する電磁気的な力
は
![{\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))+q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))=q{\big \{}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}(t)){\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a874d73346796e82690e706c1da4f9235f4c005)
であり、この
をローレンツ力と言う。ここで、「×」はベクトル積である。
上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力でありクーロン力とも呼ばれる。
第二項はビオ・サバールの法則を一般化した形となっている[要検証 – ノート]。
なお、第二項は磁場中で荷電粒子が受ける力
![{\displaystyle q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a33a9b6256ac15408413a8123c7fed095ce58e0)
であるが、ローレンツ力という用語がこの項のみを指すものとされる場合もある。
荷電粒子が加速度運動している場合、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するが[要校閲]、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われる[疑問点 – ノート]。
(参考: 制動放射、ラーモアの公式 放射の反作用、en:Abraham–Lorentz force)
ローレンツ力の向き[編集]
ローレンツ力の向きについて、電場による力
は電場と平行である。
また、磁場による力
は右手の法則に従い、下図のようにフレミングの左手の法則で表される。
磁場による力の向きを表すフレミングの左手の法則
右手の姿で示す方法
また、右手の姿で示す方法もある。
ローレンツ力と仕事[編集]
ローレンツ力のする仕事は
![{\displaystyle \mathrm {d} W={\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573070d7ce91bd62fe4c0ea86839ae916a20b42f)
である。
ここで、磁場による力の項は、
![{\displaystyle \mathrm {d} W_{\mathrm {m} }=q({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {v}}~\mathrm {d} t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b5144a7c1dbbb3965b718cb19f7450c23d35e3)
であり、磁場は仕事をしない。
電場による力の項は、
![{\displaystyle \mathrm {d} W_{\mathrm {e} }=q{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {v}}~\mathrm {d} t=w\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6531ebe16ff78453902ec2a26f3cb65b42509862)
である。この電場による仕事量は、巨視的に見るとジュール熱に相当する。
磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。
ローレンツ力と電磁力[編集]
電荷 qi の時刻 t における位置を ri(t)、速度を vi(t) とすると、電荷密度 ρ、電流密度 j は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho (t,{\boldsymbol {x}})&=\sum _{i}q_{i}\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\\{\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})&=\sum _{i}q_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aee7b74c1dc281ddc8b8e4896c8df990951c6ad)
と表すことができる。δ(x)はディラックのデルタ関数である。
ローレンツ力Fは多数の粒子系に対しては
![{\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=\sum _{i}q_{i}\left({\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))+{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9624dbf80d188fd142aeb1b2442600e03c7c3f)
となる。ここで、電場Eと磁束密度Bを
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))&=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})\\{\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))&=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775b4a10732758aa88010b9b0952f41d57abdcd8)
として、和と積分を入れ替えると、
![{\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\left(\rho (t,{\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddce90de5b4dd08be20640d1e580db28ffe09237)
このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。
相対論的な表示[編集]
ローレンツ力を相対論的に記述すると
![{\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }=-q{\dot {X}}^{\nu }F_{\nu \mu }(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03875b9ee20a3af913a4a45f384e3ccd51dd0954)
となる。
ここで X = (ct, r) は粒子の相対論的な位置、p = (E/c, p) は粒子の相対論的な4元運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。
F は電場と磁場を合わせた電磁場テンソルで、その成分は具体的に
![{\displaystyle (F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_{1}/c,-E_{2}/c,-E_{3}/c),~(F_{23},F_{31},F_{12})=(B_{1},B_{2},B_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc9b0c1c376aea7fde68d1ade20daf43688901f3)
と表される。
位置の微分は非相対論的な速度 v によって
![{\displaystyle {\dot {X}}^{\mu }=(c{\dot {t}},{\dot {t}}{\boldsymbol {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ff9b268d701a1ef8269cbd54d19f220e21520e)
と表される。
従って、この式の空間成分は
![{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {p}}}=q{\dot {t}}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\dot {t}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f135424627c76625e9d21f5895b0edd8389fa889)
となる。非相対論的な力 f は
![{\displaystyle {\boldsymbol {f}}={\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\frac {\dot {\boldsymbol {p}}}{\dot {t}}}=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9678262eea326b647856f6c55b5f588abf27c72)
となる。
関連項目[編集]