積率母関数

確率論や統計学において、確率変数 X の積率母関数またはモーメント母関数（英: moment-generating function）は、期待値が存在するならば次の式で定義される。

$M_{X}(t):=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R}$

積率母関数がそのように呼ばれるのは、t = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布のモーメントの母関数であるからである。

$E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}(0)$

積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。

積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率（モーメント）と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。

より一般化すると、n-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{n})$ の場合、$tX$ の代わりに ${\boldsymbol {t}}\cdot {\boldsymbol {X}}\equiv {\boldsymbol {t}}^{\intercal }{\boldsymbol {X}}$ を使い、次のように定義する。

$M_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {t}}):=E\left(e^{{\boldsymbol {t}}\cdot {\boldsymbol {X}}}\right)$

計算

積率母関数はリーマン＝スティルチェス積分で次のように与えられる。

$M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)$

ここで F は累積分布関数である。

X が連続な確率密度関数 f(X) を持つ場合、$M_{X}(-t)$ は f(x) の両側ラプラス変換である。

${\begin{aligned}M_{X}(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\dotsb \right)f(x)\,\mathrm {d} x\\&=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\dotsb \end{aligned}}$

ここで、$m_{i}$ は i番目のモーメントである。

2つの独立確率変数の和

2つの独立な確率変数の和の積率母関数は次のようになる。

$M_{X+Y}(t)=E\left(e^{t(X+Y)}\right)=E(e^{tX})E(e^{tY})=M_{X}(t)M_{Y}(t)$

独立確率変数の総和(一般化)

X₁, X₂, ..., X_n が一連の独立確率変数で（分布が同一である必要は無い）、

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}$

としたとき（a_i は定数）、S_n の確率密度関数はそれぞれの X_i の確率密度関数の畳み込みとなり、S_n の積率母関数は次のようになる。

$M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\dotsb M_{X_{n}}(a_{n}t).$

他の関数との関係

積率母関数に関連して、確率論にはいくつかの変換が存在する。

特性関数

特性関数 $\varphi _{X}(t)$ と積率母関数は $\varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(it)$ という関係にある。すなわち、特性関数は iX の積率母関数であり、X の積率母関数を虚数軸で評価したものである。

キュムラント母関数

キュムラント母関数は積率母関数の対数として定義される。特性関数の対数をキュムラント母関数とする場合もあるが、通常そちらは「第2」キュムラント母関数と呼ぶ。

確率母関数

確率母関数は $G(z)=E[z^{X}]\,$ で定義される。したがって、$G(e^{t})=E[e^{tX}]=M_{X}(t)\,$ である。

具体例

分布	積率母関数 $M_{X}(t)$
二項分布 $B(n,p)$	$(1-p+pe^{t})^{n}$
コーシー分布	存在しない。
指数分布 $\mathrm {Exp} (\lambda )$	${\frac {\lambda }{\lambda -t}}$ for $t<\lambda$
正規分布 $N(\mu ,\sigma ^{2})$	$\exp {\left(\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
ポアソン分布 $Po(\lambda )$	$\exp(\lambda (e^{t}-1))$