ポアンカレ写像

力学系理論におけるポアンカレ写像（ポアンカレしゃぞう、英: Poincaré map）とは、連続力学系を離散力学系に簡約化する方法の一つ^[1]。特に周期軌道やカオス的軌道のような、何度も回り続けるような流れを調べるに効果を発揮する^[2]。

アンリ・ポアンカレによって、天体力学の研究の中で導入された^[3]。ポアンカレ写像のアイデアは、1881年から1886年にかけて発表された論文「微分方程式によって定義される曲線について」の中に見られる^[4]。

定義

一般の場合

独立変数を $t \in ℝ$ 、従属変数を $x \in ℝ n$ とする自律系常微分方程式

{\frac {dx}{dt}}=f(x)

(1 )

から生成される流れ $φ (t, x)$ について考える^[5]。流れは点 $x$ が $t$ 時間後に写る点を与える写像 $φ : ℝ \times ℝ n \to ℝ n$ を意味する^[6]。

さらに、 $ℝ n$ 内でベクトル場 $f$ に横断的な $n - 1$ 次元超曲面 $Σ$ を考える。ここで、 $Σ$ が $f$ に横断的であるとは、 $Σ$ 上の任意の点 $ξ$ で、ベクトル $f (ξ)$ が

f(\xi )\cdot n(\xi )\neq 0

(2 )

を充たすことをいう^[7]。ただし、 $n (ξ)$ は $ξ$ における $Σ$ と直交するベクトルを、 $\cdot$ はベクトルの内積を表す^[7]。

そして、 $ξ \in Σ$ から出発する軌道が、 $τ$ 時間後にまた $Σ$ 上に戻って来ると仮定する。すなわち、ある $τ = τ (ξ) > 0$ があって、 $φ (τ, ξ) \in Σ$ である^[5]。 $Σ$ 上に戻って来ることは複数ありうるので、それらのうちの最小時間を $τ (ξ)$ とする。このときの写像 $Σ ∋ ξ \mapsto φ (τ (ξ), ξ) \in Σ$ がポアンカレ写像である^[5]。特に、 $ξ$ を改めて $x$ と表し、

P(x)=\varphi (\tau (x),\ x)

(3 )

によって定まる写像 $P (x)$ をポアンカレ写像と呼ぶ^[8]^[7]^[9]。ただし、ポアンカレ写像の定義域は $Σ$ 全体ではなく、 $Σ$ の真部分集合 $U$ となるのが一般である^[10]。

ポアンカレ写像 $P$ は帰還写像（英: return map、英: first-return map）とも呼ばれる^[5]^[11]^[12]^[13]。横断的な曲面 $Σ$ はポアンカレ断面（英: Poincaré section）^[14]^[8]や切断面（英: cross section）^[14]^[15]、横断面（英: cross section）^[9]^[12]と呼ばれる。流れによって $Σ$ に戻って来る最小時間 $τ$ は帰還時間と呼ばれる^[13]^[8]。

周期軌道の場合

$Σ$ 上から出発して $Σ$ 上に戻って来る軌道があればポアンカレ写像は定義されるが、特に流れが周期軌道（閉曲線となる軌道）を持つときは、その周期軌道の近傍でポアンカレ写像の存在が次のように保証される^[16]。

式 (1) で定まる力学系に周期軌道が存在し、その周期軌道を $γ$ とし、 $γ$ の周期を $T$ とする。周期軌道上の点 $x 0 \in γ$ と交わるように $n - 1$ 次元曲面 $Σ$ を取る。 $Σ$ は $x 0$ で $γ$ と横断的に交わるように取れば、 $Σ$ はベクトル場 $f$ に横断的なポアンカレ断面になる^[17]。

$x 0$ から出発する軌道は時間 $T$ 経過後に $x 0$ に戻って来る^[15]。また、 $f (x)$ が $C r$ 級（ $r \geq 1$ ）であれば、 $φ$ も $C r$ 級である^[7]。よって、 $x 0$ に十分近い点 $x \in Σ$ から出発する軌道は、 $x 0$ の近くに戻って来る^[15]。そのため、 $Σ$ 上で $x 0$ の近傍 $U \subset Σ$ を適当に取れば、 $U$ 上の任意の点 $x$ から出発する軌道が $Σ$ と再び交わるようにできる。こうして構成できる $U$ から $Σ$ への写像 $P$ をポアンカレ写像という^[15]。

周期的な非自律系の場合（ストロボ写像）

流れを定める常微分方程式が、次のように、時間 $t$ を陽に含む非自律系でなおかつ $t$ について周期 $T$ の周期性を持つ場合がある^[18]。

{\begin{array}{l}{\dfrac {dx}{dt}}=f(t,\ x)\\f(t,\ x)=f(t+T,\ x)\end{array}}

(4 )

流れ $φ$ を、点 $x \in ℝ n$ における時刻 $t 0 \in ℝ$ も明記して $φ t, t 0 (x)$ と書き表すとする。このとき、 $φ t, t 0 (x) = φ t + T, t 0 + T (x)$ が成り立ち、 $ϕ (x) = φ T, 0 (x)$ で定まる写像によって

\varphi ^{t,0}(x)=\varphi ^{t-kT,0}(\phi ^{n}(x))

(5 )

が成り立つ^[18]^[19]。また、整数全体を $ℤ$ で表し、1次元トーラスを周期 $T$ によって $𝕋 = ℝ/ T ℤ$ と定義する。このとき、 $ℝ n \times 𝕋$ を拡大相空間、 $φ$ をその上の流れと見なすことができる^[20]^[21]。したがって、 $ϕ = φ T, 0 : ℝ n \to ℝ n$ は、拡大相空間 $ℝ n \times 𝕋$ の $t = 0 \in 𝕋$ で切断面を取ったポアンカレ写像 $P : ℝ n \to ℝ n$ に相当する^[20]^[21]。

このような非自律系のポアンカレ写像は、ストロボ写像^[22]^[23]や時間 $T$ 写像^[24]^[19]とも呼ばれる。ストロボ写像という名は、周期的にストロボを当てるように軌道を見るような方法であることに因む^[23]。

利点

微分方程式の軌道とポアンカレ断面の交点を時間の順序に並べて ${x 0, x 1, x 2, \dots}$ と表すと、ポアンカレ写像はこれらを追跡する写像である^[25]。ポアンカレ写像 $P$ によって

x_{n+1}=P(x_{n})

(4 )

という離散力学系が定まり、この離散力学系の軌道が ${x 0, x 1, x 2, \dots}$ という関係となる^[8]。

しかし、任意の常微分方程式系に対してポアンカレ写像の構成できる一般的な方法は存在しない^[26]。ほとんどの場合で、ポアンカレ写像の具体的な形を書き下すのは非常に難しく、普通は不可能といってもよい^[27]^[28]。ポアンカレ写像の構成は、問題に応じて試行錯誤で行う必要がある^[26]。それでも、以下のような利点がポアンカレ写像には存在する。

ポアンカレ写像は、微分方程式などによって与えられる連続力学系ないし流れの問題を、次元が1つ低い相空間上の写像の問題に置き換える手法である^[29]。扱う問題の次元（変数）を1つ減らせるのはポアンカレ写像を考える第一の利点で、問題の研究を進めやすくする^[30]^[26]。また、微分方程式（流れ）を扱うよりも写像を扱う方が一般的には容易いのも、ポアンカレ写像が有利な点である^[30]^[31]。

ポアンカレ写像では、元の連続力学系の軌道に対し、ポアンカレ断面以外の点は無視する^[32]。これにより、処理するデータ量を圧倒的に少なく抑えることができる^[30]。このようにポアンカレ写像は元の軌道のごく一部のみを観察する手法であるが、それでもなおポアンカレ写像の振る舞いに元の軌道の特徴（周期性、安定性、カオス性など）を残すことができる^[33]。後述のように、特に連続力学系の周期軌道では、その性質の多くをポアンカレ写像によって表現できる^[15]。

基本的性質

微分方程式の解の一意性より、それに対するポアンカレ写像も1対1対応が成立する^[34]。微分方程式が定める流れ $φ$ が $C r$ 級であれば、定義よりポアンカレ写像 $P (x)$ も $C r$ 級で、 $P (x)$ の逆写像も $C r$ 級でもある^[13]^[12]。よって、 $C r$ 級流れに対するポアンカレ写像は $C r$ 級微分同相写像である^[12]。さらに、帰還時間 $τ (x)$ も $C r$ 級函数である^[13]。

ある周期軌道に対して異なるポアンカレ断面 $Σ 1$ と $Σ 2$ を取ったとする。 $Σ 1$ と $Σ 2$ 上に定義されるポアンカレ写像を $P 1$ と $P 2$ と表す。このとき、 $P 1$ と $P 2$ は $C r$ 共役の関係にある^[35]。したがって、周期軌道の充分近い範囲で考える限りは、どこにポアンカレ断面を取ってもポアンカレ写像の性質は変わらないことがいえる^[36]。

相空間が $ℝ 3$ のときは、連続力学系（流れ）による軌道の種類に応じ、それに対するポアンカレ写像の軌道は次のように様相となる。

元の軌道が周期軌道であれば、それが通過するポアンカレ断面上の点列は有限個の点となる^[25]^[34]。それらの点はポアンカレ写像にとっての不動点または周期点となる^[37]。
元の軌道が準周期軌道であれば、点列は1つの閉曲線を稠密に埋めつくす^[34]^[38]。
元の軌道が不規則であれば、それが通過するポアンカレ断面上の点列は雲のように分散する^[25]。
元の軌道がストレンジアトラクター上の軌道であれば、それが通過するポアンカレ断面上の点列はランダムのように飛び飛びだが、何らかの幾何的構造を持つ^[39]。

流れによる周期軌道の安定性の問題は、ポアンカレ写像の不動点の安定性の問題に還元でき、さらに写像の固有値で特徴付けできる^[26]。 $ℝ n$ 内における流れによる周期軌道を $γ$ とし、その周期を $T$ とする。周期軌道上の点 $p \in γ$ から $T$ 後の状態を与える流れ $φ (T, p)$ の微分 $Dφ (T, p)$ は、 $1$ を必ず固有値として持つ。 $1$ 以外の固有値を $λ 1 \dots λ n - 1$ とすると、 $p \in γ$ におけるポアンカレ写像 $P$ の微分 $DP (p)$ は同じ $λ 1 \dots λ n - 1$ を持つ^[40]^[41]。

出典

^ 森・水谷 2009, p. 99.
^ Strogatz 2015, pp. 305–306.
^ Lorenz 2001, p. 45.
^ 齋藤 1984, pp. 3, 263–264.
^ ^a ^b ^c ^d 坂井 2015, p. 263.
^ 荒井 2020, p. 40.
^ ^a ^b ^c ^d ウィギンス 2013, p. 66.
^ ^a ^b ^c ^d 千葉 2021, p. 196.
^ ^a ^b ロビンソン 2001, p. 275.
^ 國府 2000, p. 10.
^ 今・竹内 2018, p. 214.
^ ^a ^b ^c ^d 伊藤 1998, p. 88.
^ ^a ^b ^c ^d ロビンソン 2001, p. 276.
^ ^a ^b 今・竹内 2018, p. 213.
^ ^a ^b ^c ^d ^e 丹羽 2004, p. 118.
^ 伊藤 1998, pp. 87–88.
^ 今・竹内 2018, pp. 213–214.
^ ^a ^b 丹羽 2004, p. 126.
^ ^a ^b 伊藤 1998, p. 82.
^ ^a ^b 丹羽 2004, p. 127.
^ ^a ^b 柴山 2016, p. 62.
^ 小室 2005, p. 25.
^ ^a ^b 井上・秦 1999, p. 75.
^ アリグッド、サウアー、ヨーク 2012a, p. 48.
^ ^a ^b ^c 松葉 2011, p. 31.
^ ^a ^b ^c ^d ウィギンス 2013, p. 65.
^ Hirsch; Smale; Devaney 2007, p. 226.
^ Strogatz 2015, p. 306.
^ アリグッド、サウアー、ヨーク 2012a, p. 54.
^ ^a ^b ^c ベルゲジェ、ポモウ、ビダル 1992, p. 60.
^ 荒井 2020, p. 166.
^ 松葉 2011, p. 37.
^ 松葉 2011, pp. 30, 37.
^ ^a ^b ^c 井上・秦 1999, p. 73.
^ ウィギンス 2013, p. 93.
^ ウィギンス 2013, p. 94.
^ アリグッド、サウアー、ヨーク 2012b, p. 85.
^ ベルゲジェ、ポモウ、ビダル 1992, p. 64.
^ 井上・秦 1999, p. 78.
^ 千葉 2021, p. 197.
^ ロビンソン 2001, pp. 277–278.

参照文献

坂井秀隆、2015、『常微分方程式』初版、東京大学出版会〈大学数学の入門 10〉 ISBN 978-4-13-062960-7
久保泉・矢野公一、2018、『力学系』オンデマンド版、岩波書店 ISBN 978-4-00-730742-3
國府寛司、2000、『力学系の基礎』初版、朝倉書店〈カオス全書2〉 ISBN 4-254-12672-7
S. ウィギンス、丹羽敏雄（監訳）、今井桂子・田中茂・水谷正大・森真（訳）、2013、『非線形の力学系とカオス』新装版、丸善出版 ISBN 978-4-621-06435-1
千葉逸人、2021、『解くための微分方程式と力学系理論』初版、現代数学社 ISBN 978-4-7687-0570-4
荒井迅、2020、『常微分方程式の解法』初版、共立出版〈共立講座数学探検 15〉 ISBN 978-4-320-11188-2
伊藤秀一、1998、『常微分方程式と解析力学』初版、共立出版〈共立講座 21世紀の数学 11〉 ISBN 4-320-01563-0
今隆助・竹内康博、2018、『常微分方程式とロトカ・ヴォルテラ方程式』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-11348-0
丹羽敏雄、2004、『微分方程式と力学系の理論入門 ―非線形現象の解析にむけて―』増補版、遊星社 ISBN 4-7952-6900-9
C. ロビンソン、國府寛司・柴山健伸, 岡宏枝（訳）、2001、『力学系上』、シュプリンガー・フェアラーク東京 ISBN 4-431-70825-1
國府寛司、2000、『力学系の基礎』初版、朝倉書店〈カオス全書2〉 ISBN 4-254-12672-7
E. N. Lorenz、杉山勝・杉山智子（訳）、1997、『ローレンツカオスのエッセンス』、共立出版 ISBN 4-320-00895-2
齋藤利弥、1984、『力学系以前 ―ポアンカレを読む―』第1版、日本評論社〈数セミ・ブックス 9〉
森真・水谷正大、2009、『入門力学系 ―自然の振舞いを数学で読みとく―』、東京図書 ISBN 978-4-489-02050-6
Steven H. Strogatz、田中久陽・中尾裕也・千葉逸人（訳）、2015、『ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで―』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6
井上政義・秦浩起、1999、『カオス科学の基礎と展開 ―複雑系の理解に向けて―』初版、共立出版 ISBN 4-320-03323-X
K.T.アリグッド；T.D.サウアー；J.A.ヨーク、津田一郎（監訳）、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏（訳）、2012 a、『カオス　第1巻　力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06223-4
K.T.アリグッド；T.D.サウアー；J.A.ヨーク、津田一郎（監訳）、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏（訳）、2012 b、『カオス　第3巻　力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06540-2
柴山允瑠、2016、「重点解説ハミルトン力学系 ―可積分系とKAM理論を中心に―」、『臨時別冊・数理科学2016年12月』（SGCライブラリ 130）、サイエンス社、ISSN 0386-8257
ピエール・ベルゲジェ；イヴェ・ポモウ；クリスチャン・ビダル、相澤洋二（訳）、1992、『カオスの中の秩序 ―乱流の理解へ向けて』、産業図書 ISBN 4-7828-0068-1
松葉育雄、2011、『力学系カオス』第1版、森北出版 ISBN 978-4-627-15451-3
Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木紳・三波篤朗・谷川清隆・辻井正人（訳）、2007、『力学系入門　原著第2版 ―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-01847-1
小室元政、2005、『基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ―』新版、サイエンス社 ISBN 4-7819-1118-8

外部リンク

Poincaré return map - Encyclopedia of Mathematics
Poincaré Map - MathWorld
「ポアンカレ写像」 - 機械工学事典（日本機械学会）

[FOOTNOTE森・水谷200999-1] 森・水谷 2009, p. 99.

[FOOTNOTEStrogatz2015305–306-2] Strogatz 2015, pp. 305–306.

[FOOTNOTELorenz200145-3] Lorenz 2001, p. 45.

[FOOTNOTE齋藤19843,_263–264-4] 齋藤 1984, pp. 3, 263–264.

[FOOTNOTE坂井2015263-5] 坂井 2015, p. 263.

[FOOTNOTE荒井202040-6] 荒井 2020, p. 40.

[FOOTNOTEウィギンス201366-7] ウィギンス 2013, p. 66.

[FOOTNOTE千葉2021196-8] 千葉 2021, p. 196.

[FOOTNOTEロビンソン2001275-9] ロビンソン 2001, p. 275.

[FOOTNOTE國府200010-10] 國府 2000, p. 10.

[FOOTNOTE今・竹内2018214-11] 今・竹内 2018, p. 214.

[FOOTNOTE伊藤199888-12] 伊藤 1998, p. 88.

[FOOTNOTEロビンソン2001276-13] ロビンソン 2001, p. 276.

[FOOTNOTE今・竹内2018213-14] 今・竹内 2018, p. 213.

[FOOTNOTE丹羽2004118-15] 丹羽 2004, p. 118.

[FOOTNOTE伊藤199887–88-16] 伊藤 1998, pp. 87–88.

[FOOTNOTE今・竹内2018213–214-17] 今・竹内 2018, pp. 213–214.

[FOOTNOTE丹羽2004126-18] 丹羽 2004, p. 126.

[FOOTNOTE伊藤199882-19] 伊藤 1998, p. 82.

[FOOTNOTE丹羽2004127-20] 丹羽 2004, p. 127.

[FOOTNOTE柴山201662-21] 柴山 2016, p. 62.

[FOOTNOTE小室200525-22] 小室 2005, p. 25.

[FOOTNOTE井上・秦199975-23] 井上・秦 1999, p. 75.

[FOOTNOTEアリグッド、サウアー、ヨーク2012a48-24] アリグッド、サウアー、ヨーク 2012a, p. 48.

[FOOTNOTE松葉201131-25] 松葉 2011, p. 31.

[FOOTNOTEウィギンス201365-26] ウィギンス 2013, p. 65.

[FOOTNOTEHirsch;_Smale;_Devaney2007226-27] Hirsch; Smale; Devaney 2007, p. 226.

[FOOTNOTEStrogatz2015306-28] Strogatz 2015, p. 306.

[FOOTNOTEアリグッド、サウアー、ヨーク2012a54-29] アリグッド、サウアー、ヨーク 2012a, p. 54.

[FOOTNOTEベルゲジェ、ポモウ、ビダル199260-30] ベルゲジェ、ポモウ、ビダル 1992, p. 60.

[FOOTNOTE荒井2020166-31] 荒井 2020, p. 166.

[FOOTNOTE松葉201137-32] 松葉 2011, p. 37.

[FOOTNOTE松葉201130,_37-33] 松葉 2011, pp. 30, 37.

[FOOTNOTE井上・秦199973-34] 井上・秦 1999, p. 73.

[FOOTNOTEウィギンス201393-35] ウィギンス 2013, p. 93.

[FOOTNOTEウィギンス201394-36] ウィギンス 2013, p. 94.

[FOOTNOTEアリグッド、サウアー、ヨーク2012b85-37] アリグッド、サウアー、ヨーク 2012b, p. 85.

[FOOTNOTEベルゲジェ、ポモウ、ビダル199264-38] ベルゲジェ、ポモウ、ビダル 1992, p. 64.

[FOOTNOTE井上・秦199978-39] 井上・秦 1999, p. 78.

[FOOTNOTE千葉2021197-40] 千葉 2021, p. 197.

[FOOTNOTEロビンソン2001277–278-41] ロビンソン 2001, pp. 277–278.

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